Demostrar que $a=b$ , donde $a$ y $b$ son elementos del dominio integral $D$

Question

Dejemos que $D$ sea un dominio integral y $a,~b \in D$ . Supongamos que $a^n=b^n$ y $a^m=b^m$ para cualquier dos $m,~n$ tal que $(m,n)=1$ . Demostrar que $a=b$ .

Sé que $ab≠0$ desde $D$ no contiene divisores de cero, pero no tengo idea de cómo demostrarlo.

Answer 1

Como ha señalado Henning Makholm, la pregunta, tal y como está planteada, tiene una respuesta muy corta (dejemos $m=n=1$ ). Supondré que el problema real es el siguiente. Supongamos que hay existe enteros positivos relativamente primos $m$ y $n$ tal que $a^m=b^m$ y $a^n=b^n$ . Demostrar que $a=b$ .

Si uno de $a$ o $b$ es el elemento cero, entonces el otro debe serlo, y por lo tanto $a$ es trivialmente igual a $b$ . Por lo tanto, podemos suponer que ni $a$ ni $b$ es el elemento cero. =n=1

Dejemos que $d$ sea el El más pequeño entero positivo tal que $a^d=b^d$ . Demostraremos que $d=1$ , lo que demuestra el resultado.

Al dividir $m$ por $d$ podemos expresar $m$ como $qd+r$ , donde $0\le r<d$ . Así que $a^{qd+r}=b^{qd+r}$ y por lo tanto $$(a^d)^qa^r=(b^d)^q b^r.$$ Desde $a^d=b^d$ por cancelación obtenemos $a^r=b^r$ . Si $r\ne 0$ Esto contradice la definición de $d$ .

Así que $r=0$ y por lo tanto $d$ divide $m$ . De la misma manera, $d$ divide $n$ . Desde $m$ y $n$ son relativamente primos, se deduce que $d=1$ .

Answer 2

$1$ y $232372$ son relativamente primos, por lo que según tus suposiciones tenemos $a^1=b^1$ y $a^{232372}=b^{232372}$ .

(¿Quiere decir que "Supongamos que existe un primo relativo $m$ y $n$ tal que $a^n=b^n$ y $a^m=b^m$ "?)

Answer 3

Despejar si $\rm\,a=0\,$ o $\rm\,b=0.\,$ Si no, el conjunto $\rm\,S\,$ de $\rm\,k \in \mathbb Z\,$ con $\rm a^k = b^k\,$ se cierra bajo la sustracción $>0,\,$ es decir $ $ si $\rm\,j > k\in S\,$ y luego cancelar $\rm \,0\ne a^k = b^k\,$ de $\rm\,a^j = b^j$ rinde $\rm\,a^{j-k} = b^{j-k},\,$ así que $\rm\,j\!-\!k\in S.$

Así, por este teorema básico cada elemento positivo de $\rm\,S\,$ es un múltiplo del mínimo positivo $\rm\:d\in S$ .

Así, $\rm\:n,m\in S\ \Rightarrow\ d\ |\ n,m\ \Rightarrow\ d\ |\ (n,m) = 1.\:$ Por lo tanto, $\rm\: d = 1\in S,\:$ es decir $\rm\:a^1 = b^1.\ \ $ QED

Nota $\ $ La idea clave explotada anteriormente es que un conjunto $\rm\,S\,$ de enteros cerrados bajo $\rm\,subtraction\,$ también está cerrado bajo $\rm\,gcd\,$ (por lo tanto $\rm\,S\,$ contiene $1$ si contiene elementos coprimidos). Esta es la idea clave de la antigua $\rm\,subtractive\,$ forma del algoritmo euclidiano para el $\rm\,GCD.$

Answer 4

Bueno, usted sabe que $a^{kn}=b^{kn}$ para cualquier número entero positivo $k$ y $a^{lm}=b^{lm}$ para cualquier número entero positivo $l$ . Multiplicando las dos ecuaciones, $a^{kn+lm}=b^{kn+lm}$ .

Desde $m$ y $n$ son relativamente primos, existe $k$ y $l$ s.t. $kn+lm\equiv 1$ mod $mn$ (elegir $k$ para ser la inversa multiplicativa de $n$ mod $m$ y de forma similar para $l$ ).

Entonces podemos sustituir $b^{kn+lm}$ con $b*(b^{kn+lm-1})=b*(b^m)^{(kn+lm-1)/m}=b*(a^m)^{(kn+lm-1)/m}$ $=b*a^{kn+lm-1}$ .

Esto nos da $a^{kn+lm}=b*a^{kn+lm-1}$ y la anulación de la $a$ 's da $a=b$ .

Salud,

Rofler