Integral en el espacio euclidiano de $n$ −dimensional

Question

He formulado esta pregunta en Matemáticas de Intercambio de la Pila, pero desafortunadamente no hay una respuesta todavía. Yo repost porque esta integral viene de QFT y tal vez alguien de aquí lo ha hecho antes o me podría ayudar. Yo simplemente copia este post.

Quiero calcular esta integral en $n$-dimensional en el espacio euclidiano.

$$I(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\frac{d^n k}{(2\pi)^n}\frac{e^{i(k\cdot x)}}{k^2+a^2},$$ donde $k^2=(k\cdot k)$, $k=(k_1,\ldots,k_n)\in\mathbb{R}^n$, $x=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n$,$a\in \mathbb{R}$.

He hecho esta integral para $n=3$ por coordenadas esféricas y de residuos teorema. Tengo

$$I(r)=\frac{1}{4\pi r}e^{-ar},$$ where $r=|x|$

Pero en $n$-dimensiones que he fallado en el uso de coordenadas esféricas, porque nunca he hecho antes. También veo que esta integral es La transformada de Fourier de $\frac{1}{k^2+a^2}$, pero no aquí también, porque no puedo encontrar la transformada de Fourier de par en mis libros de referencia.

Si alguien pudiera guiarme en esta integración sería genial.

Answer 1

ADVERTENCIA: La función no es absolutamente integrable para $n>1$, por lo que la integral depende fuertemente de cómo usted decide calcular que si se rompe la integración en las integrales iteradas.

Usar en lugar de cilíndrica coordenadas. $k = (z, \vec{r})$ donde$\vec{r} \in \mathbb R^{n-1}$$z\in \mathbb R$. Usted tiene de esta manera, suponiendo que el $x$ se dirige a lo largo de $z$: $$I(x) = \frac{1}{(2\pi)^n}\int_{\mathbb R^{n-1}} d\vec{r} \int_{\mathbb R} dz \frac{e^{i|x|z}}{\vec{r}^2 + z^2 +a^2}=\frac{\omega_{n-1}}{(2\pi)^n}\int_{0}^{+\infty} dr \int_{\mathbb R} dz \frac{e^{i|x|z}r^{n-2} }{r^2 + z^2 +a^2}$$ Así: $$I(x) = \frac{2\omega_{n-1}}{(2\pi)^n}\int_{0}^{+\infty} dr \int_0^{+\infty} dz \frac{r^{n-2}\cos(|x|z) }{r^2 + z^2 +a^2}$$ donde $\omega_{n-1} = \frac{2\pi^{(n-1)/2}}{\Gamma((n-1)/2)}$ es la medida de la superficie de la unidad de la esfera en $\mathbb R^{n-1}$.

La interna de la integral se puede encontrar en varios libros, por ejemplo, la identidad 3.723(2) en Gradshteyn - Ryzhik libro (séptima edición). La realización de lo que uno tiene:

$$I(x) = \frac{\pi\omega_{n-1}}{(2\pi)^n}\int_{0}^{+\infty} dr \frac{r^{n-2}e^{-|x|\sqrt{r^2 +a^2}} }{\sqrt{r^2 +a^2}} $$ El resto de integral, pasando a integrar en $d(r^2/a^2)$, puede ser calculado en términos de funciones de Bessel $K_\nu$ el uso de la identidad 3.479(1) en Gradshteyn - Ryzhik libro (séptima edición).

Por favor revise todo, porque, como de costumbre, no estoy seguro de en mis cálculos!