Supongamos que $s$ es un número complejo con $\Re(s) \in (0,1]$ y $\{a_n\}$ es una compleja secuencia convergente a $a \neq 0$. ¿Debe divergir la serie de Dirichlet $$\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{n^s}$ $?
Respuestas
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He trabajado una respuesta parcial a mi propia pregunta.
Definir $A(s) = \sum\limits_{n=1}^\infty\frac{a_n}{n^s}$.
En primer lugar, asumir que $s = 1$. WLOG también podemos suponer que $a = 1$. Observe que para algunos $N$ y todos los $n > N$, $\Re(a_n) > 1/2$. De ello se desprende que $A(1)$ diverge.
He encontrado una pertinente resultado en Knopp, Konrad. Infinitas Secuencias y Series. Nueva York: Dover, 1956. El punto 4 de la página. 138 es el resultado de que si las sumas parciales de la de la serie de Dirichlet $A(s_0)$ son acotados, a continuación, $A(s)$ converge siempre $\Re(s) > \Re(s_0)$. Desde $A(1)$ diverge, llegamos a la conclusión de este resultado que $A(s_0)$ diverge para $s_0 < 1$.
Así, vemos que la $A(s)$ la diferencia que debe existir para $\Re(s) \in (0,1]$, a menos que $s = 1 + it$ donde $t \neq 0$.
Por favor, ver a mi pregunta MO para una demostración de la divergencia en el caso restante.
Stephan Aßmus
Puntos
16
Voy a publicar esto sin tener todos los hechos todavía. No hay ambigüedad posible que la parte real de la $s$ estrictamente entre 0 y 1, como en el comentario por anon.
Sin embargo, no estoy seguro en este momento acerca de la suma $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$$ para $s = \sigma + i t$ $\sigma = 1,$ $s = 1 + i t.$ La suma diverge para $t=0,$ la de Riemann zeta función tiene un polo.
Resulta que el producto de Euler es condicionalmente convergente en $s = 1 + i t$ real $t\neq 0.$, por tanto, es al menos posible que $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{1 + i t}}$ es condicionalmente convergente. Si es así, la pregunta por su secuencia $a_n$ se convierte en extremadamente sutil cuando $s = 1 + i t$ real $t\neq 0.$
