Oh, sí! Espero que no te importa tener un poco de físico, aunque! Ver, $$(u')^2+u^2=1$$ is a statement about conservation of energy and represents a first integral of motion. Not only that, it carries more information, since replacing $1$ by some $E>0$ gives $$\left(\frac{u'}{\sqrt{E}}\right)^2+\left(\frac{u}{\sqrt{E}}\right)^2=1,$$
la caracterización de todas las trayectorias en el espacio de fase como círculos. La energía es una constante a lo largo de estas trayectorias - la representación de conjuntos de nivel de $f(u',u)=(u')^2+u$ en el espacio de fase. La solución puede ser escrito como $u(t)=\sqrt{E}\cos{(t+\phi)}$, con la fase de nuevo dependiendo de algunos de hormigón valor inicial. También, el segundo orden de la ecuación es habitualmente se denomina ecuación de movimiento.
Ahora, la aplicación de esta a su problema, podemos usar un truco de la mecánica clásica. Primero una breve reseña: la energía es generalmente de dos partes, la energía cinética $$\frac{1}{2}(u')^2$$
y la energía potencial, que es una función general $V(u)$$u$, llamado el potencial:
$$\frac{1}{2}(u')^2+V(u)=E.$$
El significado de la segunda potencia de la derivada primera es que la diferenciación genera segundo orden ecuaciones de movimiento, que requieren dos valores iniciales, y nuestro mundo es peculiar como el que quiere exactamente 2 valores iniciales $u(0)$$u'(0)$.
Ahora podemos resolver el problema de manera diferente. Considere lo siguiente:
$$\frac{1}{2}(u')^2=E-V(u) \\ \Rightarrow u' = \pm \sqrt{2(E-V(u))},$$ and now separation of variables gives $$\frac{du}{\sqrt{2(E-V(u))}}=\pm dt, $$
que nos permite integrar y (con suerte) invertir para dar a $u(t)$, de lo contrario, la solución está dada implícitamente como $t=F(u)$.
Podríamos aplicar esto a su cúbicos problema. Ahora la omisión de la $1/2$ en la cinética de plazo, $V(u)=-4u^3+g_2u$$E=-g_3$, sin embargo, esto conduce a una integral elíptica. MathWorld de referencia (en (48)) da $$z=\int_{\wp(z)}^{\infty}1/\sqrt{4u^3-g_2u-g_3}$$ as an integral representation of the Weierstrass P function. It likewise gives $\wp(t)$ como la solución a su partida de 2º orden de la ecuación.
¿Qué podemos hacer con estos conjuntos de nivel? Primero de todo, los puntos de $u'=0$ son llamados puntos de inflexión. Podemos dibujar $V(u)$ y todo por debajo de la línea de $V=E$ va a ser "trazado" por la solución, representada como una partícula material, como en una montaña rusa. Obviamente no puede revertir su movimiento en cualquier lugar, ya que significaría que $u'$ debe ir de lo positivo a lo negativo de valores, y que no puede hacerlo sin la necesidad de cruzar $u'=0$ debido a la continuidad. Por lo tanto, representa final-puntos de movimiento, donde algunos partícula material tiene que detener para siempre (llegando algunos máximo local asintóticamente, que apenas suficiente energía para hacerlo, y no lo suficiente como para ir más allá de ella), o invertir su movimiento. Si $V(u)=u^2$, entonces podemos ver que la partícula oscilará entre el $u=\pm\sqrt{E}$. Aquí he dibujado la efectiva Kepler potencial de $-k/r+M^2/2r^2$, junto con un poco de energía negativa, donde se pueden ver dos puntos de inflexión, lo que representa delimitada movimiento planetario:
![enter image description here]()
El punto de todo esto es que podemos integrar a $\frac{du}{\sqrt{2(E-V(u))}}$ a partir de un punto de inflexión para la próxima, que nos da la mitad del período de movimiento. Y todo esto es apenas arañar la superficie, ya que tiene un inmenso significado teórico. Espero que esto le dio un poco nueva perspectiva sobre las cosas, y que ayudó!
