¿Fácil manera de calcular logaritmos sin una calculadora?

Question

Tendría que ser capaz de calcular logaritmos sin usar una calculadora, sólo en papel. El resultado debe ser una fracción para que sea lo más exacto. Por ejemplo, he visto esto en la clase de matemáticas calculado por uno de mis compañeros sin la ayuda de una calculadora.

$$\log_8128 = \frac 73$$

¿Cómo se hace esto?

Answer 1

Para evaluar $\log_8 128$ , dejemos que $$\log_8 128 = x$$ Entonces, por definición del logaritmo, $$8^x = 128$$ Desde $8 = 2^3$ y $128 = 2^7$ obtenemos \begin {align*} (2^3)^x & = 2^7 \\ 2^{3x} & = 2^7 \end {align*} Si dos exponenciales con la misma base son iguales, entonces sus exponentes deben ser iguales. Por lo tanto, \begin {align*} 3x & = 7 \\ x & = \frac {7}{3} \end {align*}

Compruébalo: Si $x = \frac{7}{3}$ entonces $$8^x = 8^{\frac{7}{3}} = (8^{\frac{1}{3}})^7 = 2^7 = 128$$

Answer 2

Utilizando $\log_xy=\dfrac{\log_ay}{\log_ax}$ y $\log(z^m)=m\log z$ donde todos los logaritmos deben permanecer definidos a diferencia de $\log_a1\ne\log_a(-1)^2$

$$\log_8{128}=\dfrac{\log_a(2^7)}{\log_a(2^3)}=\dfrac{7\log_a2}{3\log_a2}=?$$

Claramente, $\log_a2$ es finito no nulo para reales finitos $a>0,\ne1$

Ver Leyes de los logaritmos

Answer 3

Como has visto, puede ser un montón de trabajo calcularlos a mano. Así que, en el contexto de "sin calculadora", me gustaría señalar que el regla de cálculo ¡se hizo casi exactamente para este tipo de cálculo!

Answer 4

Otra forma de hacerlo:

$$ 128= 2^7 = (2^3)^\frac{7}{3} = 8^\frac{7}{3}$$

$$ \log_8 128 = \log_8 (8)^\frac{7}{3} = \frac{7}{3}$$

Nótese las leyes del logaritmo utilizadas aquí: $$ \log_a a = 1$$

$$ \log_y x^a= a \log_y x$$

Answer 5

En general, esto funciona sólo si la base del logaritmo es una potencia de algún número. Si lo es, entonces escribe la base $b$ como $x^a$ para algunos enteros $x,a$ . A continuación, intente escribir el argumento del registro como $x^c$ para algún número entero $c$ . Entonces la respuesta al logaritmo sería $\frac{c}a$ .

Por ejemplo, $$\log_{8}(128) = \log_{2^3}(2^7)=\log_{2^3}((2^3)^{\frac73})=\frac73$$ $$\log_{27}(2187) = \log_{3^3}(3^7)=\log_{3^3}((3^3)^{\frac73})=\frac73$$

$$\log_{36}(216) = \log_{6^2}(6^3)=\log_{6^2}((6^2)^{\frac32})=\frac32$$