Cómo resolver $x\cdot\mathrm e^x=1$ ?

Question

Posible duplicado:
Inverso de $y=xe^x$

Me gustaría resolver la ecuación $x \cdot\mathrm e^x=1$ . Sé que tiene una respuesta, podría encontrarla con una calculadora, pero no recuerdo cómo resolverla en papel.

¿Alguna ayuda?

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Sé que la respuesta es $x \approx 0.567143$ . No quiero la respuesta, quiero un método para encontrarla.

Answer 1

Puedes comprobar fácilmente que sólo hay una solución:

1. si $x\leq0$ entonces $x\cdot\mathrm e^x\leq0<1$ ;

2. si $x>0$ entonces $x\cdot\mathrm e^x=1$ si $\mathrm e^x = \frac1x$ (véase el gráfico siguiente); efectivamente, $\mathrm e^x$ aumenta y $\frac1x$ disminuye en el plató $\{x>0\}$ por lo que no hay más que una solución. La solución existe ya que $\mathrm e^{0.1}<10$ pero por otro lado $\mathrm e^1>1$ y por tanto por el Teorema del Valor Intermedio existe un punto $x\in (0.1,1)$ tal que $\mathrm e^x = \frac1x$ . Este punto se puede encontrar fácilmente de forma numérica: $x\approx 0.567143$

Answer 2

Teorema de Newton-Rapshon:

$f(x)=xe^x-1$ (su función).

$f'(x)=e^x x+e^x$ (la derivada de su función).

Después de esto, pon la fórmula Newton-Rapson:

$x_{k}=x_{k-1}-\frac{f(k-1)}{f'(k-1)}$

y definir un primer intento, por ejemplo, $x_0=1$ .

La fórmula final, para su ecuación se verá así:

$x_{k}=\frac{x_{k-1}^2+e^{-x_{k-1}}}{x_{k-1}+1}$ , $\quad$ $x_0=1$ .

Ahora tienes que encontrar esto $x_k$ porque, el límite de $x_k$ cuando $k$ tiende a infinito resuelve la ecuación original.

Consulte esta tabla:

y esta parcela de $f(x)$ :

Answer 3

Hay infinitos números complejos que satisfacen su ecuación. Dicho de otro modo, la función de Lambert, que es la función inversa de $x\cdot\exp\,x$ tiene muchas ramas. La única solución real es $W(1)\approx0.567143290409783873$ las otras soluciones complejas incluyen $W_{-1}(1)\approx -1.5339133197935745079 - 4.3751851530618983855\,\, i$ y $W_1(1)\approx -1.5339133197935745079 + 4.3751851530618983855\,\,i$ entre otros...