Supongamos que $$ \int_0^\infty\sqrt{x}f(x)\,\mathrm{d}x=A\tag{1} $$ y $$ \int_0^\infty f^2(x)\,\mathrm{d}x=B\tag{2} $$ Entonces, dejando $g(x)^2=A^{1/2}B^{-3/4}f(AB^{-1/2}x)$ obtenemos $$ \int_0^\infty\sqrt{x}g(x)^2\,\mathrm{d}x=\int_0^\infty g(x)^4\,\mathrm{d}x=1\tag{3} $$ y $$ \int_0^\infty f(x)\,\mathrm{d}x=A^{1/2}B^{1/4}\int_0^\infty g(x)^2\,\mathrm{d}x\tag{4} $$ Por lo tanto, maximizar $\int_0^\infty g(x)^2\,\mathrm{d}x$ dado $(3)$ produce la mejor constante para la inecuación dada.
La variación de $(4)$ es estacionario cuando $$ \int_0^\infty g(x)\,\delta g(x)\,\mathrm{d}x=0\tag{5} $$ Ecuaciones $(3)$ implica $$ \int_0^\infty\sqrt{x}g(x)\,\delta g(x)\,\mathrm{d}x=\int_0^\infty g(x)^3\,\delta g(x)\,\mathrm{d}x=0\tag{6} $$ Para asegurar $(5)$ se mantiene siempre que $(6)$ hace, debemos tener que $g(x)^2=0$ o $g(x)^2=a-b\sqrt{x}$ .
Por lo tanto, considere $g(x)^2=a-b\sqrt{x}$ en $\left[0,\frac{a^2}{b^2}\right]$ y $g(x)^2=0$ para $x\gt\frac{a^2}{b^2}$ . $$ \begin{align} \int_0^{a^2/b^2}\sqrt{x}g(x)^2\,\mathrm{d}x &=\int_0^{a^2/b^2}\left(a\sqrt{x}-bx\right)\,\mathrm{d}x\\ &=\frac{a^4}{6b^3}\tag{7} \end{align} $$ $$ \begin{align} \int_0^{a^2/b^2}g(x)^4\,\mathrm{d}x &=\int_0^{a^2/b^2}\left(a^2-2ab\sqrt{x}+b^2x\right)\,\mathrm{d}x\\ &=\frac{a^4}{6b^2}\tag{8} \end{align} $$ $$ \begin{align} \int_0^{a^2/b^2}g(x)^2\,\mathrm{d}x &=\int_0^{a^2/b^2}\left(a-b\sqrt{x}\right)\,\mathrm{d}x\\ &=\frac{a^3}{3b^2}\tag{9} \end{align} $$
Resolver $(7)$ y $(8)$ dado $(3)$ produce $$ (a,b)=\left(6^{1/4},1\right)\tag{10} $$ Enchufando $(10)$ en $(9)$ se obtiene una constante óptima de $$ \left(\frac83\right)^{1/4}\doteq1.277886208492545\tag{11} $$ alcanzado por la función $$ \left(6^{1/4}-\sqrt{x}\right)\left[0\le x\le6^{1/2}\right]\tag{12} $$ donde $\left[\dots\vphantom{6^{1/2}}\right]$ son Soportes Iverson .
La respuesta hábil
Supongamos que $f(x)\ge0$ y $$ \int_0^\infty\sqrt{x}f(x)\,\mathrm{d}x=\int_0^\infty f(x)^2\,\mathrm{d}x=1\tag{13} $$ Entonces, dejar que $u(x)=\left(6^{1/4}-\sqrt{x}\right)\left[0\le x\le6^{1/2}\right]$ $$ \begin{align} 0 &\le\int_0^\infty(f(x)-u(x))^2\,\mathrm{d}x\\ &=\int_0^\infty\left(f(x)^2-2f(x)u(x)+u(x)^2\right)\,\mathrm{d}x\tag{14} \end{align} $$ Aplicando $(13)$ a $(14)$ dividiendo por $2$ y reordenando, obtenemos $$ \begin{align} 1 &\ge\int_0^\infty f(x)u(x)\,\mathrm{d}x\\ &\ge\int_0^\infty f(x)\left(6^{1/4}-\sqrt{x}\right)\,\mathrm{d}x\\ &=6^{1/4}\int_0^\infty f(x)\,\mathrm{d}x-1\tag{15} \end{align} $$ Por lo tanto, $$ \int_0^\infty f(x)\,\mathrm{d}x\le\left(\frac83\right)^{1/4}\tag{16} $$
