Cuantificación Bohr-Sommerfeld desde la aproximación WKB

Question

¿Cómo se puede demostrar la condición de cuantificación de Bohr-Sommerfeld

$$ \oint p~dq ~=~2\pi n \hbar $$

de la solución del ansatz de WKB $$\Psi(x)~=~e^{iS(x)/ \hbar}$$ para la ecuación de Schroedinger?

Con $S$ la acción de la partícula definida por la ecuación de Hamilton-Jacobi

$$ \frac{\partial S}{\partial t}+ \frac{(\nabla S)^{2} }{2m}+V(x)~=~0 .$$

Answer 1

El semiclásico/Bohr-Sommerfeld/Wilson-Sommerfeld/ WKB / EBK La regla de cuantificación y las fórmulas de conexión se discuten en numerosos libros de texto. La condición de cuantización discreta se desprende de la exigencia de un valor único de la función de onda. Obsérvese que la fórmula de cuantificación se ve modificada por la corrección metapléctica / Índice de Maslov por los puntos de inflexión.

Para un tratamiento elemental, véanse, por ejemplo, las referencias 1-7. Para un tratamiento riguroso, véase este Puesto de Phys.SE.

Referencias:

1. D. Griffiths, Introducción a QM, 2ª ed., 2004; capítulo 9.

2. L.D. Landau y E.M. Lifshitz, QM, Vol. 3, 3ª ed., 1981; capítulo VII.

3. A. Galindo y P. Pascual, QM II, 1991; capítulo 9.

4. P. Cvitanovic et. al, Caos: Classical and Quantum, 2013; secciones 37.1-36.7. Fórmula de trazado de Gutzwiller se trata en el capítulo 39. El archivo pdf está disponible en www.chaosbook.org . (Dado que el libro se actualiza continuamente, el número de capítulo puede cambiar en el futuro).

5. H.S. Friedrich, Física atómica teórica , 1998; sección 1.5.3.

6. R.G. Littlejohn, El método WKB , apuntes de clase, 2019.

7. Ley de Weyl .