Para la integración numérica, ¿es cierto que un mayor grado de precisión siempre da una mejor exactitud?

Question

En el caso de la integración numérica, ¿es cierto que un mayor grado de precisión siempre proporciona una mejor precisión? Justifica tu respuesta.

Conozco la definición de grado de precisión. Para la regla del trapecio y la regla de Simpson 1/3 son 1 y 3 respectivamente. La regla de Simpson 1/3 proporciona una mejor precisión que la regla del trapecio. Entonces, ¿siempre es cierta la afirmación anterior? Si no, ¿por qué? Si sí, entonces ¿por qué aprendemos la regla del trapecio/ Simpson? ¿Por qué no establecemos un DOP más alto y más alto a partir de la regla de Newton-Cotes generalizada u otra fórmula de cuadratura general?

Answer 1

Aumentar la precisión, tanto en términos del orden del método como en el número de puntos de la cuadrícula utilizados, generalmente (la mayor parte del tiempo) conduce a una estimación más precisa para la integral que estamos tratando de calcular. Sin embargo, este no es siempre el caso como muestra el siguiente ejemplo (artificial).

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$$\bf \text{Ejemplo donde un mayor orden no implica una mejor precisión}$$

Sea

$$f(x) = \left\{\matrix{1 & x < \frac{1}{2}\\0 & x \geq \frac{1}{2}}\right.$$

y consideremos la integral $I=\int_0^1f(x){\rm d}x = \frac{1}{2}$. Si utilizamos la regla del trapecio con $n$ puntos de la cuadrícula entonces

$$I_{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{f(\frac{i-1}{n})+f(\frac{i}{n})}{2} \implies I_n = \left\{\matrix{\frac{1}{2} & n\text{impar}\\\frac{1}{2} - \frac{1}{n} & n\text{par}}\right.$$

así que para $n=3$ tenemos la respuesta exacta que es mejor que cualquier $n$ par sin importar cuán grande sea. Esto muestra que aumentar el número de puntos de la cuadrícula no siempre mejora la precisión. Con la regla de Simpson encontramos

$$I_n = \frac{1}{3n}\sum_{i=1}^{n/2}f\left(\frac{2i-2}{n}\right)+4f\left(\frac{2i-1}{n}\right)+f\left(\frac{2i}{n}\right) \implies I_n = \left\{\matrix{\frac{1}{2} - \frac{1}{3n}&n\equiv 0\mod 4\\\frac{1}{2}&n\equiv 1\mod 4\\\frac{1}{2} + \frac{2}{3n} & n\equiv 2\mod 4\\\frac{1}{2} - \frac{5}{6n} & n\equiv 3\mod 4}\right.$$

entonces incluso si la regla de Simpson tiene un orden superior vemos que no siempre supera a la regla del trapecio.

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$$\bf \text{¿Qué significa realmente un mayor grado de precisión?}$$

Si tenemos una función suave entonces un análisis de error estándar de la serie de Taylor da que el error en la estimación de la integral $\int_a^bf(x){\rm d}x$ usando $n$ puntos equiespaciados está acotado por (aquí para Simpson y la regla del trapecio)

[

$$\epsilon_{\rm Simpsons} = \frac{(b-a)^5}{2880n^4}\max_{\zeta\in[a,b]}|f^{(4)}(\zeta)|$$ $$\epsilon_{\rm Trapezoidal} = \frac{(b-a)^3}{12n^2}\max_{\zeta\in[a,b]}|f^{(2)}(\zeta)|$$

Nota que el resultado que obtenemos de tal análisis de error siempre es una cota superior (o en algunos casos un orden de magnitud) para el error en lugar del valor exacto del error. Lo que nos dice este análisis de error es que si $f$ es suave en $[a,b]$, de modo que las derivadas están acotadas, entonces el error con un método de orden superior tiende a disminuir más rápido a medida que aumentamos el número de puntos de la cuadrícula y, en consecuencia, típicamente necesitamos menos puntos de la cuadrícula para obtener la misma precisión con un método de orden superior.

El orden del método solo nos habla de la caída de $\frac{1}{n^k}$ del error y no dice nada sobre el prefactor adelante, por lo que un método que tiene un error de $\frac{100}{n^2}$ tiende a ser peor que un método que tiene un error $\frac{1}{n}$ siempre que $n\leq 100$.

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$$\bf \text{¿Por qué necesitamos todos estos métodos?}$$

En principio no necesitamos ningún otro método que el más simple. Si podemos calcular a una precisión arbitraria y tenemos suficiente potencia de cálculo, entonces podemos evaluar cualquier integral con la regla del trapecio. Sin embargo, en la práctica siempre hay limitaciones que, en algunos casos, nos obligan a elegir un método diferente.

](https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_del_trapecio#Análisis_de_error)

Usar un método de bajo orden requiere muchos puntos de la cuadrícula para garantizar una precisión lo suficientemente buena, lo que puede hacer que el cálculo tome demasiado tiempo, especialmente cuando el integrando es costoso de calcular. Otro problema que puede ocurrir incluso si podemos permitirnos usar tantos puntos de la cuadrícula como queramos es que el error de truncamiento (errores debido a que las computadoras utilizan un número finito de dígitos) puede entrar en juego, por lo que incluso si usamos suficientes puntos, el resultado podría no ser preciso.

Otros métodos pueden resolver estos problemas potenciales. Personalmente, cada vez que necesito integrar algo y tengo que implementar el método por mí mismo, siempre comienzo con un método de baja precisión como la regla del trapecio. Es muy fácil de implementar, es difícil cometer errores al programarlo y generalmente es lo suficientemente bueno para la mayoría de los propósitos. Si esto no es lo bastante rápido, o si el integrando tiene propiedades (por ejemplo, oscilaciones rápidas) que lo hacen malo, pruebo un método diferente. Por ejemplo, he tenido que calcular integrales (multidimensionales) donde una regla del trapecio necesitaría más de un año para calcularla con la suficiente precisión, pero con la integración de Monte Carlo ¡el tiempo necesario fue menos de un minuto! Por lo tanto, es bueno conocer diferentes métodos de integración numérica en caso de que te encuentres con un problema donde el método más simple falle.