Estructuras estrictamente entre $\{\mathbb{R},+,<\}$y $\{\mathbb{R},+,\cdot,<\}$.

Question

Deje $\mathcal{R}_0=\{\mathbb{R},+,<\}$ ser el orden divisible abelian grupo de reales y $\mathcal{R}=\{\mathbb{R},+,\cdot,<\}$ ser el verdadero campo cerrado de reales. Tanto en $\mathcal{R}_0$ $\mathcal{R}$ o un mínimo de estructuras.

Deje $f:\mathbb{R}\setminus\{0\}\rightarrow \mathbb{R}$ ser el mapa dado por $f(x)=1/x$. Considere la posibilidad de $\mathcal{R}_f=\{\mathbb{R},+,f,<\}$, la estructura generada después de la expansión de $\mathcal{R}_0$ mediante la adición de la función $f$ como definibles por el conjunto.

Es $\mathcal{R}_f = \mathcal{R}$, es decir, es el campo en el producto en $\mathbb{R}$ definible en $\mathbb{R}_f$?

La pregunta que surge a partir de la más general a la duda de si existe una junta mínima de grupo que contiene un definibles homeomorphism entre un almacén y un conjunto ilimitado que no termina de definir un campo de la estructura.

Answer 1

La multiplicación es definible en $\mathcal R_f$.

Paso 0. Todos los aditivos de operaciones del grupo ($+, -, 0$) son definibles.

La operación $+$ se da en el lenguaje, mientras que el $0$ es el único de identidad para $+$ $-x$ es el único inverso aditivo de a $x$.

Paso 1. El singleton $\{1\}$ es definible.

$1$ es el único elemento $x$ satisfactorio la fórmula $(0<x)\wedge (f(x)=x)$.

Paso 2. El cuadrado de la función de $y = x^2$ es definible.

$x^2=y$ tiene exactamente al $x=\pm 1$ $y=1$ o más $x\neq \pm 1$ y

$$ y = \frac{1}{\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}} + \frac{1}{\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}} + 1, $$

que se puede expresar mediante sólo la estructura aditiva, $1$, e $f(x) = \frac{1}{x}$.

Paso 3. La función del producto $z = xy$ es definible.

$xy = z$ tiene exactamente al $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + z+z$, que se puede expresar mediante sólo la estructura aditiva y el cuadrado.