Me gustaría calcular el siguiente límite: $$\lim_ {n \to \infty} {\frac{n+\lfloor \sqrt{n} \rfloor^2}{n-\lfloor \sqrt{n} \rfloor}}$$ donde $\lfloor x \rfloor$ es el suelo de $x$ y $x R$ .
Ahora sé que el resultado es $2$ pero tengo problemas para llegar a ella. Cualquier idea sería muy apreciada.
Puede observar que, como $n \to \infty$ , $$ \begin{align} {\frac{n+\lfloor \sqrt{n} \rfloor^2}{n-\lfloor \sqrt{n} \rfloor}}&={\frac{2n+(\lfloor \sqrt{n} \rfloor-\sqrt{n})(\lfloor \sqrt{n} \rfloor+\sqrt{n})}{n-\lfloor \sqrt{n} \rfloor}}\\\\ &={\frac{2+(\lfloor \sqrt{n} \rfloor-\sqrt{n})(\lfloor \sqrt{n} \rfloor+\sqrt{n})/n}{1-\lfloor \sqrt{n} \rfloor/n}} \\\\& \to 2 \end{align} $$ ya que, como $n \to \infty$ , $$ \left|\frac{\lfloor \sqrt{n} \rfloor}{n}\right|\leq\frac{\sqrt{n}}{n} \to 0 $$ y $$ \left|\frac{(\lfloor \sqrt{n} \rfloor-\sqrt{n})(\lfloor \sqrt{n} \rfloor+\sqrt{n})}{n}\right|\leq\frac{2\sqrt{n}}{n} \to 0. $$
Observando que $\lfloor\sqrt{n}\rfloor \operatorname*{\sim}_{n\to\infty} \sqrt{n} = o(n)$ el denominador es $n+o(n)$ . Pero del mismo modo, el mismo equivalente implica que $\lfloor\sqrt{n}\rfloor^2 \operatorname*{\sim}_{n\to\infty} \sqrt{n}^2 = n$ por lo que el numerador se convierte en $2n+o(n)$ . Juntando todo, la expresión es $$ \frac{n+\lfloor\sqrt{n}\rfloor^2}{n-\lfloor\sqrt{n}\rfloor} = \frac{2n+o(n)}{n+o(n)}\xrightarrow[n\to\infty]{} 2 $$
(los equivalentes y $o(\cdot)$ son los habituales Notaciones de Landau .)
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A medida que el límite se aproxima a infinito, la función suelo se vuelve insignificante.