¿Cuáles son algunas de las sorprendentes apariciones de $e$?

Question

Recientemente me encontré con la siguiente hermosa y aparentemente fuera-de-la-azul apariencia de $e$:

$E[\xi]=e$ donde $\xi$ es una variable aleatoria que se define como sigue. Es el número mínimo de $n$ tal que $\sum_{i=1}^n r_i>1$ $r_i$ son números aleatorios de una distribución uniforme en $[0,1]$.

Puedo pensar en muchas más, casi mágico, aplicaciones de $e$,$^\dagger$ pero me gustaría escuchar de algunos casos en los que se sorprendieron de que $e$.

Me gustaría recibir el mejor de los ejemplos, así como ser capaz de dar a algunos de los estudiantes de secundaria me tutor en matemáticas, un sentido de algunas de las profundas conexiones entre diferentes áreas de las matemáticas que en realidad sólo hecho evidente en el nivel de la universidad. Estas conexiones profundas siempre me hizo querer aprender más acerca de las matemáticas, y mi esperanza es que mis estudiantes se sienten de la misma manera.

EDITAR (pregunta adicional): muchas de las respuestas a continuación provienen de estadísticas y/o combinatoria. ¿Por qué es $e$ tan útiles en estas áreas? En general, me gustaría saber si ms responden incluido algunos consejos en cuanto a cómo se puede conseguir una intuición acerca de por qué la $e$ aparece en su caso (o, de hecho, de cómo ellos mismos hacer sentido de ella) - esto sería de gran ayuda para mí en la presentación de estos grandes ejemplos.

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$^\dagger$, Por ejemplo, que su función exponencial es su propia derivada, su relación con las funciones trigonométricas, su uso en la transformación de Fourier, la trascendencia, etc., todo lo cual debo admitir que yo no entiendo muy bien (quizás a excepción de la primera, que me lleve a ser la definición de $e$), como en "¿qué es lo $e$ que lo hace perfecto para la representación de los números complejos, o cambiar de una base a otra, etc.?"

Answer 1

Nos han

$$e=\lim_{n\to\infty}\sqrt[\large^n]{\text{LCM}[1,2,3,\ldots,n]},$$

donde LCM se destaca para el mínimo común múltiplo.

Answer 2

$e$ aparece en el número de alteraciones

La fórmula para el número de alteraciones de la longitud de la $n$ resulta ser $$n! \cdot \sum_{j=0}^n \frac{(-1)^j}{j!}$$

Desde la segunda parte es sólo el estándar de la serie para $e^{-1}$ esto también puede ser escrito como $$\bigl[ \frac{n!}{e} \bigr]$$ donde $[ . ]$ denota el entero más cercano.

Esto también implica que el porcentaje de alteraciones entre todas las permutaciones de los enfoques, como $n \to \infty$ el número de $\frac{1}{e}$.

Answer 3

Mi favorito, también en el área de la probabilidad, es el secretario problema. Copiado (con la edición) de la pagina de Wikipedia:

La tarea es contratar a la mejor de $n$ de los solicitantes de posición. Los candidatos son entrevistados uno por uno en orden aleatorio. Una decisión sobre cada uno de ellos debe ser hecha inmediatamente después de la entrevista. Una vez rechazada, el solicitante no puede ser recordado. Durante la entrevista, el entrevistador se pueden clasificar por el solicitante de entre todos los entrevistados hasta el momento, pero no es consciente de la calidad de la inéditas de los solicitantes.

Si usted se entrevista a todos los solicitantes, entonces usted está obligado a elegir a elegir el último. Existe una mejor estrategia?

La respuesta es sí: entrevista a $n$/e de los candidatos (el número entero más cercano) y, a continuación, elija el primero de los candidatos restantes que es mejor que cualquiera de las personas entrevistadas antes; si ninguno de ellos son hasta el candidato a $n-1$, entonces usted todavía tiene que elegir candidato a $n$.

Answer 4

Casi mágica aparición de $e$ proviene del Triángulo de Pascal. Deje $s_n$ ser el producto de los términos en el $n$-ésima fila del Triángulo de Pascal, que es:

$$s_n=\prod_{k=0}^n\binom{n}{k}$$

Entonces

$$\lim_{n\to \infty}\frac{s_{n-1}s_{n+1}}{s_n^2}=e$$ Una prueba de este hecho se puede encontrar aquí. Creo que es una de las cosas que más me llamó la atención sobre el Triángulo de Pascal, y a día de hoy, aún me sorprende.

Answer 5

Yo creo que esto es hacer trampa, pero de Euler de la Identidad viene a la mente:

$$e^{i\pi}+1=0$$

Este es un caso específico de $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ al $x=\pi$. Derivando la fórmula requiere sólo un conocimiento de las expansiones de Taylor $e^x$, $\sin x$, y $\cos x$.

Supongo que esto no es particularmente sorprendente, pero revela una conexión muy profunda entre las funciones trigonométricas, funciones exponenciales, e incluso de la aritmética básica.

EDIT: yo quería agregar esto como una idea de último momento:

En $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ deje $x=\frac{\pi}{2}$.

$\displaystyle e^{i\frac{\pi}{2}}=0+i$. Ahora exponentiate ambos lados por $i$.

$\displaystyle (e^{i\frac{\pi}{2}})^i=i^i \Longrightarrow e^{-{\frac{\pi}{2}}}=i^i$

$i^i$ es un número real, que se puede expresar en términos de $e$.