¿Por qué sin utilizar la continuidad de la función de $\lim_{x \rightarrow a} \cos (x-a)=\lim_{x \rightarrow 0} \cos (x)$ $\cos$?

Question

¿Por qué sin utilizar la continuidad de la función de $\lim_{x \rightarrow a} \cos (x-a)=\lim_{x \rightarrow 0} \cos (x)$ $\cos$?

En general cuando está bien para "cambiar" el límite como esta. Es obviamente algo pasa que no soy consciente.

Podría alguien explicarme.

Gracias.

Answer 1

Definición de límite de una función $f(x)$ % de punto $0$es

$$\exists L:\left( {\forall \varepsilon > 0,\exists \delta > 0:\left( {\forall x,0 < \left| {x} \right| < \delta \to \left| {f(x) - L} \right| < \varepsilon } \right)} \right)$$

Ahora, si nos reescribir la definición

$$\exists L:\left( {\forall \varepsilon > 0,\exists \delta > 0:\left( {\forall x,0 < \left| {(x+a)-a} \right| < \delta \to \left| {f((x+a)-a) - L} \right| < \varepsilon } \right)} \right)$$

y $y=x+a$, nos pondremos

$$\exists L:\left( {\forall \varepsilon > 0,\exists \delta > 0:\left( {\forall y,0 < \left| {y-a} \right| < \delta \to \left| {f(y-a) - L} \right| < \varepsilon } \right)} \right)$$

y por lo tanto

$$\lim_{x \to 0} f(x) =\lim_{y \to a} f(y-a)$$