No estoy familiarizado con la aritmética modular. Estoy intentando resolver este problema como práctica para liga de matemáticas competencias.
Para intentar resolver este problema, primero intenté definir qué es el resto mediante la siguiente expresión: $$2^{2015} - 36\left\lfloor{\frac{2^{2015}}{36}}\right\rfloor$$ Lo que se puede simplificar a... $$2^{2015} - 36\left\lfloor{\frac{2^{2013}}{9}}\right\rfloor$$ Sin embargo, después de eso, no sabía qué debía hacer. Pensé en reescribir la expresión original en términos de $2^x$ así... $$\frac{2^{2015}}{2^5+2^2}$$ Sin embargo, eso no sirvió de nada.
Esta mañana, finalmente me di cuenta de que $2^{k+dx}\mod36$ , donde $k$ y $d$ son constantes, tiene un patrón que debe repetirse en algún momento ya que el resultado de la operación debe ser un entero mayor que 0 y menor que 36 (tiene un conjunto finito de resultados posibles).
Sé que 2015 es divisible por 5. Y usando una calculadora he descubierto que... $$2^5\mod{36} = 2^{35}\mod{36}$ = 32 $$ To test if I had found a solution, I verified that there was an integer solution to the following equation (plugging values in for $ k $ and $ d $ above): $$ 5 + 30x = 2015 $$ And found that $ x=67 $, so therefore the remainder of $\dfrac {2^{2015}}{36} $ must be $ 32$.
¿Existe un enfoque más rápido y/o mejor para este problema en particular o para problemas como éste?
