Categorías con límites para diagramas grandes

Question

Esta pregunta fue preguntado originalmente por Paul Slevin pero fue borrado antes de que tuviera la oportunidad de responder. En realidad es bastante sutil, así que pensé que valdría la pena volver a publicarlo aquí.

---

Considere la siguiente proposición: $\DeclareMathOperator{\mor}{mor}$

Propuesta. Dejemos que $\mathcal{C}$ ser una categoría. Si $\mathcal{C}$ tiene límites indexados por diagramas de tamaño $\left| \mor \mathcal{C} \right|$ entonces $\mathcal{C}$ debe ser un pedido previo.

Esto es fácil de demostrar cuando $\mathcal{C}$ es una categoría pequeña: supongamos, por una contradicción, que hay dos distintivo flechas paralelas $f, g : A \to B$ en $\mathcal{C}$ . Desde $\mathcal{C}$ tiene productos grandes, existe un objeto $C$ en $\mathcal{C}$ equipado con una biyección $$\textbf{Set}(\mor \mathcal{C}, \mathcal{C}(X, B)) \cong \mathcal{C}(X, C)$$ que es natural en $X$ . En particular, tenemos $$\textbf{Set}(\mor \mathcal{C}, \mathcal{C}(A, B)) \cong \mathcal{C}(A, C) \subseteq \mor \mathcal{C}$$ pero el LHS tiene cardinalidad $\ge 2^{\left| \mor \mathcal{C} \right|}$ por lo que esto contradice el teorema de Cantor sobre conjuntos de potencias.

Pregunta. ¿Cómo puedo adaptar esta prueba para el caso en que $\mor \mathcal{C}$ ¿es una clase propia? En las teorías de conjuntos de clases, como la de von Neumann-Bernays-Gödel o la de Morse-Kelley, no tiene sentido hablar de la colección de todas las subclases de una clase propia, porque cualquier miembro de cualquier clase es un conjunto, e incluso la colección de todos los mapas $\mor \mathcal{C} \to \mathcal{C}(X, B)$ no es una clase.

Answer 1

El caso de una categoría con un set de los morfismos ya se ha tratado, así que dejemos que $\mathcal{C}$ tienen una clase propia de morfismos y productos indexados de clase. Supongamos para una contradicción que hay dos distintivo flechas paralelas $f, g : A \to B$ en $\mathcal{C}$ . Desde $\mathcal{C}$ tiene productos grandes, existe un objeto $C$ en $\mathcal{C}$ y un mapa $\pi_\bullet : \mor \mathcal{C} \to \mathcal{C}(C, B)$ tal que, para todos los mapas $h_\bullet : \mor \mathcal{C} \to \mathcal{C}(X, B)$ existe un morfismo único $\vec{h} : X \to C$ tal que $\pi_i \circ \vec{h} = h_i$ para todos $i$ en $\mor \mathcal{C}$ . (Este circunloquio es necesario porque la colección de todos los mapas $\mor \mathcal{C} \to \mathcal{C}(X, B)$ es demasiado grande para ser una clase en general).

No es difícil ver que $\mathcal{C}(A, C)$ es demasiado grande para ser un conjunto, así que por limitación de tamaño, existe una biyección $\vec{k}_\bullet : \mor \mathcal{C} \to \mathcal{C}(A, C)$ . Sin embargo, considere el mapa $h_\bullet : \mor \mathcal{C} \to \mathcal{C}(A, B)$ definidos de la siguiente manera: $$h_i = \begin{cases} f & \text{if } \pi_i \circ \vec{k}_i \ne f \\ g & \text{if } \pi_i \circ \vec{k}_i = f \end{cases}$$ Esto es legítimo porque no tenemos que cuantificar sobre todas las clases para definir $h_i$ . Por hipótesis existe un morfismo (único) $\vec{h} : A \to C$ tal que $\pi_i \circ \vec{h} = h_i$ y $\vec{h} = \vec{k}_j$ para algunos $j$ en $\mor \mathcal{C}$ . Todavía, $$\pi_j \circ \vec{h} = \begin{cases} f & \text{if } \pi_j \circ \vec{k}_j = \pi_j \circ \vec{h} \ne f\\ g & \text{if } \pi_j \circ \vec{k}_j = \pi_j \circ \vec{h} = f \end{cases}$$ que es una contradicción. Por lo tanto, no podríamos haber tenido $f \ne g$ en primer lugar, así que $\mathcal{C}$ es sólo una preorden.

---

Básicamente, el argumento anterior interioriza la prueba de Cantor de que $2^\kappa \gneq \kappa$ sin mencionar nunca la colección de "todas las subclases de una clase propia" - en su lugar sustituimos $\mathcal{C}(A, C)$ que es lo suficientemente "grande" como para que la prueba de Cantor se cumpla. La dependencia del axioma de limitación de tamaño puede probablemente eliminarse - pero entonces tenemos que trabajar un poco más para obtener una suryección paradójica de $\mor \mathcal{C}$ a $\mathcal{C}(A, C)$ .

Por otro lado, el uso de la ley del medio excluido es esencial aquí - por ejemplo, se sabe que en el topos efectivo, la proposición es falso .