Derivados fraccionados de la función delta $ \delta (x) $

Question

¿Cómo puedo definir la derivada fraccionaria de la función Delta?

Quiero decir $D^{ \alpha }= \frac {d^{ \alpha }}{dx^{ \alpha }} $ donde $ \alpha $ puede ser cualquier número real, entonces si definimos $D^{ \alpha } \delta (x) $ ¿cómo podemos definirlo en el sentido de distribución?

Aplicando la integración formal por partes $ \alpha $ veces supongo que

$$ \int_ {- \infty }^{+ \infty }D^{ \alpha } \delta (x) g(x)dx= (-1)^{[ \alpha ]} \int_ {- \infty }^{+ \infty }D^{ \alpha }g(x) \delta (x)dx= (-1)^{[ \alpha ]}D^{ \alpha }g(0) $$

para cualquier función de prueba $ g(x) $ .

Answer 1

No sé si la actual representación integral de la derivada fraccionaria funciona en la función delta o no. Si funciona:

$D^ \alpha\delta (x)= \begin {cases} \dfrac {1}{ \Gamma ( \lceil\alpha\rceil - \alpha )} \dfrac {d^{ \lceil\alpha\rceil }}{dx^{ \lceil\alpha\rceil }} \int_0 ^x(x-t)^{ \lceil\alpha\rceil - \alpha -1} \delta (t)~dt& \text {when}~ \alpha >0~ \text {and}~ \alpha ~ \text {is not an integer} \\\dfrac {1}{ \Gamma (- \alpha )} \int_0 ^x(x-t)^{- \alpha -1} \delta (t)~dt& \text {when}~ \alpha <0 \end {cases}= \begin {cases} \dfrac {1}{ \Gamma ( \lceil\alpha\rceil - \alpha )} \dfrac {d^{ \lceil\alpha\rceil }}{dx^{ \lceil\alpha\rceil }}(x^{ \lceil\alpha\rceil - \alpha -1}H(x))& \text {when}~ \alpha >0~ \text {and}~ \alpha ~ \text {is not an integer} \\\dfrac {x^{- \alpha -1}H(x)}{ \Gamma (- \alpha )}& \text {when}~ \alpha <0 \end {cases}$

Answer 2

$$ \delta (x)= \frac { e^{-(x/ \varepsilon )^2}}{ \varepsilon\sqrt { \pi }}$$

donde $ \varepsilon $ es infinitesmal.

Ahora toma un derivado fraccionario de él. Por sustitución se obtiene la derivada fraccionaria de la distribución normal.