convergencia de la serie $\cos{n^2}/n$

Question

Dada la serie de $\sum_{n=1}^{\infty}\frac {\cos(n^2)}n$.

Es fácil probar que no converge absolutamente.

Necesito demostrar que converge condicionalmente.

Pensé acerca del uso de Dirichlet de la prueba debido a $1/n$ serie es monotono y $\lim_{n\rightarrow\infty} 1/n = 0$.

Así que lo tengo que demostrar es $\left|\sum_{1}^k \cos(n^2)\right| < M,\ \forall k$.

Si no se $\cos(n)$ en lugar de $n^2$, sería fácil para probar esta afirmación por la multiplicación y la división por $\cos(0.5)$ y, a continuación, utilizar alguna fórmula trigonométrica, de modo que $\left|\sum_{1}^k \cos(n^2)\right| = \left|\frac{cos(0.5)-cos(n-0.5)}{\cos(0.5)}\right| < 2$ o algo así. Pero este enfoque parece ser imposible para $\cos(n^2)$.

Tal vez hay una manera de probarlo con el hecho de que $\int \cos(x^2) = \sqrt{2/\pi}$?

O de alguna manera más sencilla?

Answer 1

Es suficiente mostrar que %#% $ #% garantizar convergencia suma parcial. En cuenta que: $$\left|\sum_{n=0}^{N}\cos(n^2)\right|\leq C\sqrt{N}\log N\tag{1}$ $ y que: % $ $$\left\|\sum_{n=1}^{N}e^{in^2}\right\|^2 = \left(\sum_{n=1}^{N}e^{in^2}\right)\cdot\left(\sum_{n=1}^{N}e^{-in^2}\right)=N+\sum_{d=1}^{N-1}\sum_{r=1}^{N-d}2\cos(2dr+d^2),\tag{2}$(donde $$(2)\ll \sum_{d=1}^{N-1}\min\left(N-d,\left\|\frac{d}{\pi}\right\|^{-1}\right)\tag{3}$ denota la distancia de $\|x\|$ del entero más cercano) de los argumentos habituales sobre sumas exponenciales simple. Si ahora tomamos $x$ como una buena aproximación racional de $\frac{a}{q}$, $\frac{1}{\pi}$, no es difícil ver que: %#% $ $\left|\frac{a}{q}-\frac{1}{\pi}\right|<\frac{1}{3Nq}$ #% sostiene por lo tanto, y la serie $$ (3)\ll \sum_{\substack{d=1\\q\nmid d}}^{N}\left\|\frac{a d}{q}\right\|^{-1}\ll(N+q)\log q\ll N\log N,\tag{4}$ converge.