¿Por qué no es una función generadora de momentos válida?

Question

Explique por qué no puede haber ninguna variable aleatoria para la que $M_x(t) = \frac{t}{1-t}$ donde M es la función generadora de momentos.

Intento: Intenté escribir $\frac{t}{1-t}$ como la suma de una serie infinita por lo que $\sum t^n$ de $n=1$ a $\infty$ . Sabemos que la fórmula de una función generadora de momentos es $\sum e^{tx}f(x)$ . Así que comparé los dos e intenté demostrar que esto lleva a una densidad que no se integra a 1, pero lo consigo: $$f(n) = \sum (\frac{t}{e^t})^n$$ que en general es convergente ya que $t<e^t$ . ¿De qué otra manera podría mostrar esto?

Gracias.

Answer 1

No es necesario jugar con las series, ni preocuparse por las integrales (bueno, no directamente). Esta es una pregunta del tipo "piensa en lo que son los MGF".

Considere la definición de un MGF -- $\quad M_X(t)=E(e^{tX})$ .

Teniendo en cuenta esta definición, ¿qué debería $M_X(0)$ ¿ser?

¿Notas el problema?