anillo de polinomios sobre un local Artinian (o finito)

Question

En esta pregunta "Cero-divisores y unidades en $\mathbb Z_4[x]$ " parece que se ha demostrado que el conjunto de divisores de cero de a $\mathbb{Z}_4[x]$ coincide con su nilpotent elementos.

Desde el nilpotent elementos coinciden con los no-unidades en $\mathbb{Z}_4$ sí, y de manera más general, para cualquier conmutativa Artinian anillo local, yo quería seguir con estas preguntas.

¿Alguien sabe si esto es cierto para $R[x]$ donde $R$ es un conmutativa finito anillo local?

Si que era demasiado fácil:

Es el caso de los conmutativa Artinian local de los anillos?

Answer 1

Deje $R$ ser un anillo conmutativo en el que cada cero divisor es nilpotent. Afirmo que el mismo es cierto para $R[x]$.

En primer lugar, voy a hablar de un teorema de McCoy: si $S$ es un anillo conmutativo, entonces $f(x) \in S[x]$ es un cero divisor si y sólo si existe un valor distinto de cero $c \in S$ tal que $cf(x) = 0$.

De vuelta a nuestro anillo de $R$. Si $f(x) \in R[x]$ es un cero-divisor, entonces el teorema de McCoy anterior muestra que todos los coeficientes en $f(x) = a_0 + a_1 x + \dots + a_n x^n$ cero divisores. Así, cada coeficiente de $a_i$ es nilpotent por nuestra suposición sobre la $R$. Desde el nilpotent elementos de la conmutativa anillo de $R[x]$ forma ideal, llegamos a la conclusión de que $f(x)$ es nilpotent.