¿Cómo determinar la curva?

Question

En la figura anterior, el segmento de $PQ$ está determinada por dos puntos: $P: (t,0)$ $Q: (1,t)$ donde $t\in [0,1]$ continuamente aumenta y disminuye entre $0$$1$.

Entonces esto le da una estrecha región barrida por $PQ$, en el borde superior de la cual es una curva.

Cómo determinar la ecuación de la curva (tal vez de forma implícita)?

Mi propio método

Supongamos que la curva es $y=y(x)$, entonces para cualquier fija $x_0\in (0,1)$, hay una línea vertical $x=x_0$, que se cruza con un paquete de dichas $PQ(t)$ segmentos:

$$y=\frac{t(x-t)}{1-t}$$

Fácil llegar a la conclusión de que, el que desee $y_0$ en la curva correspondiente a $x_0\left(\in(0,1)\right)$ es el máximo de:

$$y_0= \max\limits_{t\in (0,1)}\frac{t(x_0-t)}{1-t}=2-2\sqrt{1-x_0}-x_0$$

Cómo utilizar el sobre que concepto? ¿Hay algún método de primaria, puesto que el área es $\frac{1}{6}$?

Answer 1

SUGERENCIA

Yo diría que

$F(x,y,t)=0\equiv t(x-t)-y(1-t)=0,\quad t\in\langle 0,1 \rangle$

$F'_t(x,y,t)=0\equiv x-2t+y=0$

Resolver este sistema de ecuaciones para x, y:

$x=t(2-t), y=t^2, \quad t\in\langle 0,1 \rangle$ es una curva paramétrica de la ecuación de búsqueda.

Parcela

Answer 2

Sé que el resultado será una sección cónica. Voy a probar eso más adelante, pero empezar con esto. Yo vengo de un fondo de la geometría proyectiva, así que me gustaría homogeneizar sus puntos anexando un $1$, a continuación, encontrar las coordenadas de la línea que une a ellos mediante el cálculo de la cruz del producto.

$$\begin{pmatrix}t\\0\\1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1\\t\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-t\\1-t\\t^2\end{pmatrix}$$

Esto también puede ser escrito como $-tx + (1-t)y + t^2=0$ habitual en coordenadas Cartesianas. Es un caso especial de una línea de la ecuación de $ax+by+c=0$. Ahora quiero describir una sección cónica en el doble sentido, es decir, no como un conjunto de puntos, sino un conjunto de tangente líneas. Eso significa que tengo que encontrar una forma cuadrática homogénea en $a,b,c$ que es cero para la línea de arriba. Por eso, considerar todos los coeficientes cuadráticos:

\begin{align*} a^2 &= t^2 & ab &= t^2-t & b^2 &= 1-2t+t^2 \\ ac &= -t^3 & bc &= t^2-t^3 & c^2 &= t^4 \end{align*}

El $c^2$ expresión es el único con el grado $4$, y el $b^2$ expresión es el único con el término constante. Así que estos dos no pueden ser parte de la ecuación de segundo grado, ya que no tienen nada que cancelar en contra. Después de la eliminación de ellos, el $ab$ expresión es el único con el término lineal, lo dejamos así. Ahora la relación es fácil de ver:

$$ a^2 + ac - bc = 0 $$

Escrito como una matriz:

$$ (a,b,c)\cdot\begin{pmatrix}2&0&1\\0&0&-1\\1&-1&0\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} = 0 $$

Ahora, como dije, que es la matriz para la doble cónica. El principal cónica está representado por la inversa de la matriz, o cualquier múltiplo de la misma:

$$ (x,y,1)\cdot\begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&-2\\0&-2&0\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix} = 0 $$

Dado que el determinante de la parte superior izquierda $2\times2$ de la matriz es cero, esto es una parábola. También puede ser descrito por la ecuación

\begin{align*} x^2 + 2xy + y^2 &= 4y \\ (x+y)^2 &= 4y \end{align*}

Dado que este es el primal cónica para el dual que hemos calculado antes, y que la doble uno se dedujo a partir de una relación entre los términos de sus líneas, esto asegura que toda su familia de líneas será tangente a esta curva. Si te gusta, usted puede calcular el punto de tangencia como

$$ \begin{pmatrix}2&0&1\\0&0&-1\\1&-1&0\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}-t\\1-t\\t^2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2t-t^2\\t^2\\1\end-{pmatrix} $$

Así que el punto de $(2t-t^2, t^2)$ se basa en la parábola y la recta.

Answer 3

Tengo una solución más simple.

1. Encontrar la ecuación de la línea con $(t,0,1)\times(1,t,1)=(-t,1-t,t^2)$ %#% $ #%
2. Encontrar el % de extema $$(-t)x+(1-t)*y+(t^2)=0$con $t$$$\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\left(-t\,x+(1-t)\,y+t^2\right)=0$% $ $ $
3. Enchufe $\left. -x-y+2 t=0 \right\}\; t=\frac{x+y}{2} $ ecuación de la línea de $t$ $, que es la curva resultante

Sugerencia: La envolvente de una curva implícita $$-\frac{(x+y)^2}{4}+y=0$ se encuentra en $f(x,y,t)=0$ $t$ de problemas y usarlo en la ecuación original.

Answer 4

Mi otra respuesta se describe cómo yo pienso acerca de esto. Pero me doy cuenta de que hay una gran cantidad de conocimientos en hay, que podría hacer que esta sea menos accesible a los miembros de otras comunidades de la geometría proyectiva. Así que aquí está mi intento de solución más genérica.

Supongamos que usted ha encontrado la ecuación de la línea a $tx + (t-1)y = t^2$. Tomar una segunda línea de su familia, el uso de $u$ en lugar de $t$ como parámetro, es decir,$ux + (u-1)y = u^2$. Estos dos se cruzan en un punto de $(t+u-tu, tu)$. Ahora si consideras $\lim_{u\to t}$, a continuación, estrictamente hablando, el punto de intersección se convierte en indefinido, pero simplemente se convierten en $(2t-t^2,t^2)$. Por lo que es el punto de que su línea no tiene en común con cualquier otra línea de la familia (extendida de$t\in[0,1]$$t\in\mathbb R$). Así que en ese punto de esta línea es la que define la curva. Por lo tanto esa es su ecuación paramétrica de la curva envolvente.