$ \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} \sqrt{2 - \sqrt{2 - \sqrt{2}}} \sqrt{2 - \sqrt{2 - \sqrt{2-\sqrt{2}}}} \cdots $ =?

Question

En otras palabras, si definimos una secuencia $$ \displaystyle a_{n+1} = \sqrt{2-a_n}, \,\,\,a_0 = 0 .$$ Entonces, tenemos que encontrar

$$ \displaystyle \prod_{n=1}^{\infty}{a_n}. $$

Bien, de aquí no me parecen seguir. Puedo entender que habría una buena simplificación y el producto esperemos telescopio, pero me falta el derecho de álgebra. También pensé en encontrar una recurrencia de la solución, probablemente, a partir de los correspondientes DE pero que no siga así.

Answer 1

El cuadrado de la infinita producto se observa que $$ 2(2-\sqrt{2})\big(2-\sqrt{2-\sqrt{2}}\big)\Big(2-\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2}}}\Big)\cdots\\ = 2\cdot\frac{2}{2+\sqrt{2}}\cdot\frac{2+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}} \cdot\frac{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2+\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2}}}}\cdots \\ =\frac{4}{2+\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2-\cdots}}}} $$ Pero $$ \sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2-\cdots}}}}= 1. $$ Ver: la Convergencia de la secuencia recursiva $a_{n+1}=\sqrt{2-a_n}$. Así $$ 2(2-\sqrt{2})\big(2-\sqrt{2-\sqrt{2}}\big)\Big(2-\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2}}}\Big)\cdots = \frac{4}{3} $$ Finalmente $$ \sqrt{2}\sqrt{2-\sqrt{2}}\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2}}}\sqrt{(2-\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2}}}}\cdots = \sqrt{\frac{4}{3}} $$

Answer 2

Otro enfoque es el siguiente: si suponemos $ a_n = 2\cos(\theta_n) $ se sigue que $$ \cos(\theta_{n+1})=\sqrt{\frac{1-\cos\theta_n}{2}} = \sin\left(\frac{\theta_n}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi-\theta_n}{2}\right)\tag{1} $$ a partir de la cual hemos $\theta_{n+1}=\frac{\pi-\theta_n}{2}$ y, por inducción: $$ \theta_{n+k} = \frac{\pi}{3}-(-1)^k\frac{\pi}{3\cdot 2^k}+(-1)^k\frac{\theta_n}{2^k}.\tag{2}$$ Desde $\theta_0=\frac{\pi}{2}$, $$ \theta_k = \frac{\pi}{3}+(-1)^k \frac{\pi}{6\cdot 2^k},\qquad \color{red}{a_k = \cos\left(\frac{\pi}{6\cdot 2^k}\right)-(-1)^k\sqrt{3}\sin\left(\frac{\pi}{6\cdot 2^k}\right)}\tag{3} $$ pero desde $2\cos\theta_n = \frac{\sin(2\theta_n)}{\sin(\theta_n)}$$\sin(\pi-\theta)=\sin(\theta)$, también tenemos una telescópica producto.

En particular: $$ a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_n = \frac{\sin(2\theta_1)}{\sin(\theta_n)} \tag{4}$$ por lo tanto:

$$ \prod_{n\geq 1} a_n = \frac{\sin(2\theta_1)}{\sin(\lim_{n\to +\infty}\theta_n)} = \frac{1}{\sin\frac{\pi}{3}}=\color{red}{\frac{2}{\sqrt{3}}}.\tag{5}$$