Desigualdad ultramétrica

Question

Tengo problemas para ver la siguiente consecuencia del desigualdad ultramétrica que se supone que es inmediato.

Si $|x+y|\leq \max{\{|x|,|y|\}}$ entonces, la igualdad se mantiene cuando $|x|\neq |y|$ .

He buscado en tres libros/notas y en todos ellos sólo se dice que esto es inmediato.

Answer 1

Supongamos que $|x|<|y|$ entonces $|x+y|\le \max\{|x|,|y|\}=|y|$ pero en el otro mano tenemos $|y|=|y+x-x|\le\max\{|x+y|,|-x|\}=\max\{|x+y|,|x|\}$ por lo que tenemos $|y|\le\max\{|x+y|,|x|\}\Rightarrow |y|\le|x+y|$ como $|x|<|y|$ entonces se deduce que $|y|=|x+y|$ . Cuando supones $|x|>|y|$ por exactamente la misma razón que $|x|=|x+y|$ o simplemente $|x+y|=\max\{|x|,|y|\}$ que termina la solución.