Prueba de infinitos primos usando el totiente de Euler

Question

Necesito que me expliquen o corrijan algo: En mi clase de teoría de números demostramos que hay un número infinito de primos usando el Totiente Phi de Euler. Fue algo así:

Dejemos que $M = p_1 p_2 \dots p_n$ sea el producto de todos los primos. Consideremos $1 < A \le M$ :

Algún primo debe dividir $A$ Llámalo $q$ . Desde $q$ debe ser uno de los primos, $q$ debe dividir $M.$

Así que el $gcd(A,M) > 1.$ Así, $\phi(M) = 1$ ...?

Lo cual no es par y contradice el teorema de que $\phi(N)$ es incluso para $N>2.$ Por lo tanto, existe un número infinito de primos.

Me confunde la afirmación "Así $\phi(M) = 1$ "....

¿Es posible que haya copiado mal esta prueba? o ¿me he perdido algo? Gracias de antemano.

Edición: por considerar un tal que...quise decir considerar un entero ' $a$ Lo he sustituido por $A$ para que quede más claro.

Edit2: Siento no estar familiarizado con el uso del editor de ecuaciones. Esto no es una tarea, solo estoy estudiando para mi examen. Sólo quiero ser capaz de entender esto o aclararlo.

Answer 1

Por definición, $\phi(M)$ es el número de números en $S=\{1,2,\dots,M\}$ que son relativamente primos con $M$ . El argumento muestra que si $1<A\le M$ entonces $A$ es pas relativamente primo con $M$ por lo que sólo hay un elemento de $S$ relativamente primo con $M$ , es decir, 1, y $\phi(M)$ es por tanto igual a 1.

Answer 2

Tenga en cuenta que $\phi(M)$ cuenta el número de enteros en el intervalo $[1, M-1]$ que son relativamente primordiales para $M$ . Se nos dice que utilicemos el hecho de que $\phi(M)$ es casi siempre uniforme.

Desde $1$ es relativamente primo de $M$ , lo que deja a $\phi(M)-1$ números en nuestro intervalo, diferentes de $1$ que son relativamente primos a $M$ .

Pero como $\phi(M)$ es par, se deduce que $\phi(M)-1$ es impar, y en particular no es igual a $0$ ya que $0$ es par. Por lo tanto, hay un número $a \ne 1$ en nuestro intervalo, tal que $a$ es relativamente primo de $M$ . Cualquier divisor primo $p$ de $a$ debe ser diferente de todos los $p_i$ en la lista dada, ya que $a$ es relativamente primo de $M$ .

Parece demasiada maquinaria para este problema, especialmente porque podemos ver que si $n>1$ el número $M-1$ no es igual a $1$ y es relativamente primo de $M$ .