Límite. $\lim_{n \to \infty}\frac{1^p+2^p+\ldots+n^{p}}{n^{p+1}}$.

Question

Usted tiene cualquier idea cómo encontrar el límite de la suma siguiente: $$\lim_{n \to \infty}\frac{1^p+2^p+\ldots+n^{p}}{n^{p+1}}.

¿Stolz-Cesaro? ¿alguna idea más?

Answer 1

La forma más rápida es utilizando integrales: $\lim \sum_{k=1}^n \frac{k^p}{n^p}\frac{1}{n}=\int_0^1 x ^ pdx = \frac {1} {p + 1}.$$Al ver esto, usted puede encontrar una prueba primaria de$$k ^ p\sim \frac{1}{p+1}\bigg [(k+1) ^ {p + 1}-k ^ {p + 1} \bigg].$$

Answer 2

Demostrar por inducción en $p$ que $$f_p(n)=\sum_{k=0}^n k^p

es un polinomio de grado $p+1$ con el principal término %#% $ #%

Concluir inmediatamente el límite es de $$\frac{n^{p+1}}{p+1}

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Como alternativa, utilizar Stolz Cesaro, para mostrar que su límite es el mismo como %#% $ #%

Luego use esa % $\frac{1}{p+1}$