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Límite. lim.

Usted tiene cualquier idea cómo encontrar el límite de la suma siguiente: $$\lim_{n \to \infty}\frac{1^p+2^p+\ldots+n^{p}}{n^{p+1}}.

¿Stolz-Cesaro? ¿alguna idea más?

20voto

JarrettV Puntos 9099

La forma más rápida es utilizando integrales: \lim \sum_{k=1}^n \frac{k^p}{n^p}\frac{1}{n}=\int_0^1 x ^ pdx = \frac {1} {p + 1}. Al ver esto, usted puede encontrar una prueba primaria de k ^ p\sim \frac{1}{p+1}\bigg [(k+1) ^ {p + 1}-k ^ {p + 1} \bigg]. $

8voto

Pedro Tamaroff Puntos 73748

Demostrar por inducción en p que $$f_p(n)=\sum_{k=0}^n k^p

es un polinomio de grado p+1 con el principal término %#% $ #%

Concluir inmediatamente el límite es de $$\frac{n^{p+1}}{p+1}


Como alternativa, utilizar Stolz Cesaro, para mostrar que su límite es el mismo como %#% $ #%

Luego use esa % \frac{1}{p+1}

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