Que los derivados son finalmente periódico?

Question

Lo que los derivados son finalmente periódico?

Me he dado cuenta de que es $a_{n}=f^{(n)}(x)$, la secuencia de $a_{n}$ se convierte eventualmente periódico para una multitud de $f(x)$.

Si $f(x)$ fue un polinomio, y $deg(f(x))=n$, tenga en cuenta que $f^{(n)}(x)=C$ si $C$ es una constante. Esto implica que $f^{(n+i)}(x)=0$ por cada $i$ que es un número natural.

Si $f(x)=e^x$, tenga en cuenta que $f(x)=f'(x)$. Esto implica que $f^{(n)}(x)=e^x$ para cada número natural $n$.

Si $f(x)=\sin(x)$, tenga en cuenta que $f'(x)=\cos(x), f''(x)=-\sin(x), f'''(x)=-\cos(x), f''''(x)=\sin(x)$.

Esto implica que $f^{(4n)}(x)=f(x)$ para cada número natural $n$.

En forma similar, si $f(x)=\cos(x)$, $f^{(4n)}(x)=f(x)$ para cada número natural $n$.

Estas parecen ser las únicas funciones cuyos derivados se convierten eventualmente periódico.

¿Qué otras funciones cuyos derivados se convierten eventualmente periódico? Lo que se sabe acerca de ellos? Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

La secuencia de los derivados globalmente periódico (finalmente no periódicos) con período de $m$ es equivalente a la ecuación diferencial

$$f(x)=f^{(m)}(x).$$

Todas las soluciones de esta ecuación son de la forma $\sum_{k=1}^m c_k e^{\lambda_k x}$ donde $\lambda_k$ son soluciones de la ecuación de $\lambda^m-1=0$. Por lo tanto $\lambda_k=e^{2 k \pi i/m}$. Los detalles se pueden encontrar en cualquier elemental ecuaciones diferenciales del libro de texto.

Si usted simplemente desea eventualmente periódico, entonces usted puede elegir un índice $n \geq 1$ a que la secuencia comienza a ser periódica y resolver

$$f^{(n)}(x)=f^{(m+n)}(x).$$

El polinomio característico en este caso es $\lambda^{m+n}-\lambda^n$. Esto tiene un $n$veces la raíz de $0$, y de lo contrario, tiene las mismas raíces como antes. Esta vientos de hasta lo que implica que se trata de una suma de un polinomio de grado en la mayoría de las $n-1$, además de una solución a la ecuación anterior. De nuevo, los detalles pueden ser encontrados en cualquier elemental ecuaciones diferenciales del libro de texto.

Answer 2

Veamos también al revés. Puede definir analítica (infinitamente diferenciable) funciones con su serie de Taylor $\sum \frac{a_n}{n!}x^n$. Serie de Taylor son simplemente todo lo finito y lo infinito polinomios con coeficiente de secuencias de $(a_n)$ que satisfacen la serie de criterios de convergencia ($a_n$ son los derivados en la opción de punto de origen, en mi ejemplo, $x=0$). Compare esto con los números reales (una secuencia infinita de no-repetición de "dígitos" - la cardinalidad del continuo). Por otro lado, un conjunto de secuencias de repetición es comparable a la de los números racionales (que han llegado a la repetición de dígitos). Así que... la "fracción" de todas las funciones que tiene la repetición de los derivados, es immeasureably pequeño - es sólo una clase especial de funciones que satisfacen este criterio (ver otras respuestas para las expresiones adecuadas).

EDIT: he mencionado esto para ilustrar la comparación de la forma especial y rara funciones periódicas de los derivados. El real de la cardinalidad de los conjuntos depende del campo en el que se definen los coeficientes. Si $a_n\in \mathbb{R}$, luego de recordar que el conjunto de función continua ha $2^{\aleph_0}$, la cardinalidad de un continuum, por lo que cardinalidades son el mismo en este caso. Si los coeficientes son racionales, entonces tenemos $\aleph_0^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}$ para secuencias infinitas y $\aleph_0\times\aleph_0^n=\aleph_0$ para los periódicos.

No sólo eso, sino que puede generar todas las funciones con esta propiedad. Simplemente conecte cualquier periódico secuencia $(a_n)$ en la expresión. Se garantiza la convergencia de $x\in \mathbb{R}$, debido a un periódico de la secuencia es acotado, y $n!$ domina todos los poderes.

Una simple sustitución puede demostrar que si los coeficientes son periódicas para una serie de alrededor de un punto de origen, que son periódicas para todos ellos.

Answer 3

si $f(x)$ es analítica en$0$, y para cada $n$ : $f^{(n+m)}(0) = f^{(n)}(0)$ entonces llegamos por transformada de Fourier discreta :

$$f^{(n)}(0) = \sum_{k=0}^{m-1} e^{2 i \pi n k /m} \left(\sum_{l=0}^{m-1} e^{-2 i \pi k l /m} \frac{f^{(l)}(0)}{m}\right)$$

por lo tanto :

$$f(x) = \sum_{n=0}^\infty x^n \frac{f^{(n)}(0)}{n!} = \sum_{k=0}^{m-1} e^{xe^{2 i \pi k / m}} \left(\sum_{l=0}^{m-1} e^{-2 i \pi k l /m} \frac{f^{(l)}(0)}{m}\right)$$

lo que confirma que las únicas funciones cuyas $n$th derivados a $0$ $m$ periódico son la suma de exponenciales complejas $e^{xe^{2 i \pi k / m}}$ donde $k \in \mathbb{Z}$.

por último, añadir cualquier polinomio para aquellos y verás que el $n$th derivado en $0$ es periódica para $n \ge N$ (y cambio de $x \to x-a$ conseguir periódico en un lugar distinto al en $0$) .

Answer 4

Las soluciones de la ecuación diferencial $f^{(n)} = f$ son las combinaciones lineales de $\exp(\omega t)$ donde $\omega$ $n$'th raíz de la unidad, es decir, $\omega = \exp(2 i \pi k/n)$ para algunos entero $k$.
Las soluciones reales son combinaciones lineales de $\exp(\cos(2\pi k/n) t) \cos(\sin(2\pi k/n) t)$$\exp(\cos(2\pi k/n) t) \sin(\sin(2\pi k/n) t)$. "Finalmente periódico" funciones son combinaciones lineales de estos y polinomios.

Answer 5

Si los derivados que son finalmente periódico (como OP define), esto significa que la función satisface la ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes. Esto restringe la forma de la función.