Sobre una función continua

Question

Estoy tratando de resolver este problema, pero no tengo ni idea. ¿Me puedes ayudar?

Sean X un espacio métrico compacto y $f:X\times\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ ser una función continua. Considerar el $m(t_0)=\max_x (f(x,t_0))$. Muestran que $m$ es continua.

Gracias.

Answer 1

Fix $t\in\Bbb R$. Sólo tenemos que mostrar secuencial de continuidad, ya que estamos trabajando en un espacio métrico. Deje $\{t_n\}\subset\Bbb R$ una secuencia que converge a $t$. Desde $X$ es compacto, podemos encontrar $x_n$ tal que $m(t_n)=f(x_n,t_n)$. Nos muestran que para cada subsequence de $\{t_n\}$ podemos encontrar una más larga $\{t_{n_k}\}$ tal que $m(t_{n_k})\to m(t)$. Se mostrará que el $m(t_n)\to m(t)$.

Deje $\{t_{n'}\}$ una larga de $\{t_n\}$. La secuencia de $\{x_{n'}\}$ admite una convergencia de subsequence $\{x_{n_k}\}$,$x$. A continuación, $(t_{n_k},x_{n_k})\to (t,x)$ y llegamos a la conclusión de utilizar la continuidad de $f$ (y el hecho de que $f(x_n,t_n)\geq f(y,t_n)$ todos los $y\in Y$, para mostrar que $f(x,t)=u(t)$.