Punto en el que se encuentran todos los conjuntos de tres

Question

Todo el plano 2-dimensional está cubierto por 3 sets: Azul, Verde y Rojo. Es dado:

• Todos los conjuntos son cerrados.
• Todos los conjuntos son interiores disjuntos (pero pueden reunirse en sus límites).
• El azul es acotada.
• Azul con Verde y Rojo (es decir, sus límites no tienen intersección vacía).

El siguiente diagrama ilustra los hechos dados (no a todo color):

Me gustaría demostrar que existe un punto en el que todos los 3 conjuntos de cumplir.

La intuición es que, si partimos de la intersección de Azul y Verde, y se mueven a lo largo de la frontera de Azul, se debe en algún lugar de cumplir con el límite de Rojo, ya que todo el avión está cubierto.

Sin embargo, probablemente hay algunos casos en los que esto no es cierto. Si esto es así, ¿cuáles son las condiciones que se necesitan para agregar en el fin de asegurarse de que la intuitiva conclusión es verdadera?

Answer 1

Creo que el resultado no se sostiene. Supongamos que el rojo es el disco de unidad cerrada (centrado en el origen); azul es el anillo cerrado centrado en el origen con radio interior $1$ y exterior radio $2$ (modo azul rodea completamente rojo); y verde consiste en todos los puntos a distancia mayor o igual a $2$ desde el origen.

Answer 2

Si el azul tiene un conectada límite, entonces se mantiene. Porque si no hay punto de intersección de los tres conjuntos, se podría dividir $\partial\mathrm{Blue}$$\partial\mathrm{Blue}\cap\mathrm{Red}$$\partial\mathrm{Blue}\cap\mathrm{Green}$, lo que daría una descomposición de la $\partial\mathrm{Blue}$ en dos abiertos y conjuntos cerrados, contradiciendo su conexión.

(Probablemente debería explicar mejor por qué estos conjuntos son abiertos. Por contradicción, supongamos que $\partial\mathrm{Blue}\cap\mathrm{Red}$ es no abrir en $\partial\mathrm{Blue}$. Luego de algunos $x\in\partial\mathrm{Blue}\cap\mathrm{Red}$, cada barrio de $x$ $\partial\mathrm{Blue}$ contiene un punto no contenido en $\mathrm{Red}$. Sin embargo, cada punto en $\partial\mathrm{Blue}$ está contenida en el Rojo ni el Verde. Así, se deduce que cada barrio de $x$ $\partial\mathrm{Blue}$ contiene un punto en Verde y el closedness de Verde implica que $x$ es un contenidas en Verde y, por tanto, en la triple intersección, que contradice nuestra suposición.)

Por el contrario, si $\partial\mathrm{Blue}$ no está conectado, a continuación, se puede dividir en dos conjuntos de $C_1$ $C_2$ con un resultado positivo de distancia. Deje $U_1$ $U_2$ ser algunos de los distintos barrios de $C_1$, $C_2$ en $\mathbb{R}^2$ y definir el color en $U_i\setminus\mathrm{Blue}$ rojo resp. verde para $i=1$ resp. $2$. A continuación, puede elegir cualquier color rojo-verde para colorear de $\mathbb{R}^2\setminus (\mathrm{Blue}\cup U_1\cup U_2)$, de modo que el Verde y el Rojo son cerradas y se obtiene un colorante sin un triple intersección.

Algunos condición cuando el límite está conectado se puede encontrar en esta discusión. (Me parece que se desprende de la discusión de si el Azul se ha conectado interior cuyo cierre es el Azul y el Verde y el Rojo son los conectados y no acotada, entonces esto es suficiente para $\partial\mathrm{Blue}$ a conectar, pero no estoy completamente seguro)