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Punto en el que se encuentran todos los conjuntos de tres

Todo el plano 2-dimensional está cubierto por 3 sets: Azul, Verde y Rojo. Es dado:

  • Todos los conjuntos son cerrados.
  • Todos los conjuntos son interiores disjuntos (pero pueden reunirse en sus límites).
  • El azul es acotada.
  • Azul con Verde y Rojo (es decir, sus límites no tienen intersección vacía).

El siguiente diagrama ilustra los hechos dados (no a todo color):

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Me gustaría demostrar que existe un punto en el que todos los 3 conjuntos de cumplir.

La intuición es que, si partimos de la intersección de Azul y Verde, y se mueven a lo largo de la frontera de Azul, se debe en algún lugar de cumplir con el límite de Rojo, ya que todo el avión está cubierto.

Sin embargo, probablemente hay algunos casos en los que esto no es cierto. Si esto es así, ¿cuáles son las condiciones que se necesitan para agregar en el fin de asegurarse de que la intuitiva conclusión es verdadera?

10voto

paw88789 Puntos 19712

Creo que el resultado no se sostiene. Supongamos que el rojo es el disco de unidad cerrada (centrado en el origen); azul es el anillo cerrado centrado en el origen con radio interior 11 y exterior radio 22 (modo azul rodea completamente rojo); y verde consiste en todos los puntos a distancia mayor o igual a 22 desde el origen.

8voto

Andy Jacobs Puntos 4003

Si el azul tiene un conectada límite, entonces se mantiene. Porque si no hay punto de intersección de los tres conjuntos, se podría dividir BlueBlueBlueRedBlueRedBlueGreenBlueGreen, lo que daría una descomposición de la BlueBlue en dos abiertos y conjuntos cerrados, contradiciendo su conexión.

(Probablemente debería explicar mejor por qué estos conjuntos son abiertos. Por contradicción, supongamos que BlueRedBlueRed es no abrir en BlueBlue. Luego de algunos xBlueRedxBlueRed, cada barrio de xx BlueBlue contiene un punto no contenido en RedRed. Sin embargo, cada punto en BlueBlue está contenida en el Rojo ni el Verde. Así, se deduce que cada barrio de xx BlueBlue contiene un punto en Verde y el closedness de Verde implica que xx es un contenidas en Verde y, por tanto, en la triple intersección, que contradice nuestra suposición.)

Por el contrario, si BlueBlue no está conectado, a continuación, se puede dividir en dos conjuntos de C1C1 C2C2 con un resultado positivo de distancia. Deje U1U1 U2U2 ser algunos de los distintos barrios de C1C1, C2C2 en R2 y definir el color en UiBlue rojo resp. verde para i=1 resp. 2. A continuación, puede elegir cualquier color rojo-verde para colorear de R2(BlueU1U2), de modo que el Verde y el Rojo son cerradas y se obtiene un colorante sin un triple intersección.

Algunos condición cuando el límite está conectado se puede encontrar en esta discusión. (Me parece que se desprende de la discusión de si el Azul se ha conectado interior cuyo cierre es el Azul y el Verde y el Rojo son los conectados y no acotada, entonces esto es suficiente para Blue a conectar, pero no estoy completamente seguro)

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