$0\to L\to R^{n}\to M \to 0$ es exacta, prueba $M$ finito se presenta si y sólo si $L$ es finitamente generado.

Question

Supongo que $R$ es un anillo, $0 \rightarrow L\rightarrow R^{n} \rightarrow M \rightarrow 0$ es una secuencia exacta corta, prueba $M$ finito se presenta si y sólo si $L$ es finitamente generado.

Answer 1

Aquí es un boceto de una prueba.

Supongamos que $M$ es finitely presentado (como se define en la de Alex comentario a mi pregunta). Elija una presentación $R^m\to R^n\to M\to0$.

Reclamo: Para cualquier epimorphism $\phi:R^l\to M$, $\ker \phi$ es finitely generado.

Prueba: Tenemos dos secuencias

$R^m\to R^n\to M\to 0$

$0\to K\to R^l\to M\to 0$.

Imagina un mapa de identidad entre el $M$ sobre la parte superior e inferior. Existe un mapa de $\alpha:R^n\to R^l$ la toma de la plaza de arriba. Para ver esto, escoja una base y en la persecución de un diagrama, esto no es difícil y un buen ejercicio. Este a su vez le da un morfismos $R^m\to K$ (de arriba a abajo).

Ahora que estamos en buena forma, podemos usar el lema de la serpiente, para obtener un isomorfismo $cok(R^m\to K)\cong cok(R^m\to R^l$). Podemos concluir que la cokernel es finito como un $R$-módulo. Esto nos dice que $K$ es realmente finitely generado (¿por qué? Aunque $R^m$ no surject en $K$, sólo hay "cantidad finita de cosas" a la izquierda).

Así que esa es de una sola dirección. La otra debe ser fácil creo yo: si usted tiene un finitely generado kernel, usted puede escoger un rango finito libre módulo de mapa en que, en que se produce la presentación que desee.

También, vea este interesante y casi idéntica discusión sobre MO: http://mathoverflow.net/questions/1788/does-finitely-presented-mean-always-finitely-presented-answered-yes. Brian Conrad respuesta es maravillosamente instructivo y que vale la pena leer!