Un integral triple bailando en el cubo de la unidad

Question

Integración derecho parece bastante tedioso y difícil, y supongo que la simetría posiblemente podría abrir algunas nuevas formas de que no soy consciente. ¿Cuál sería tu idea?

$$\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1} \left(x^2-y^2\right) \left(x^2-z^2\right)}+\frac{y^2}{\sqrt{y^2+1} \left(y^2-x^2\right) \left(y^2-z^2\right)}+\frac{z^2}{\sqrt{z^2+1} \left(z^2-x^2\right) \left(z^2-y^2\right)} \, dx \ dy \ dz$$

Answer 1

Vamos que establezca $A=x^2,B=y^2,C=z^2$ y el: $$ S_n(A,B,C) = \frac{A^n}{(A-B)(A-C)}+\frac{B^n}{(B-A)(B-C)}+\frac{C^n}{(C-A)(C-B)} .\tag{1}$$ Por parcial fracción de descomposición, es sencillo comprobar que $S_0=S_1=0$$S_2=1$.

Para cada $n>2$ inducción: $$ S_n(A,B,C) = h_{n-2}(A,B,C)\tag{2} $$ donde $h_k$ es una completa homogénea polinomio simétrico, la satisfacción de: $$ \sum_{k\geq 0}h_k(A,B,C)t^k=\frac{1}{(1-A t)(1-B t)(1- Ct)}.\tag{3} $$ Supongamos ahora que la serie de Taylor de $g(u)=\frac{u}{\sqrt{1+u}}$ $u=0$ está dado por $\sum_{n\geq 0}g_n u^n$.

Nuestros integral está dada por: $$ \iiint_{(0,1)^3}\sum_{n\geq 0}g_n\,S_n(x^2,y^2,z^2)\,d\mu=g_2+\iiint_{(0,1)^3}\sum_{n\geq 3}g_n\cdot h_{n-2}(x^2,y^2,z^2)\,d\mu\tag{4} $$

Ahora hay dos enfoques posibles. El primer enfoque es buscar un operador lineal que los mapas de $t^k$$g_k$, para luego explotar $(3)$ con el fin de escribir la CARTA de las $(4)$ como una simplificación de la integral. El segundo enfoque es aplicar un doble conteo de argumento en la monomials que aparecen en el lado derecho de la $(4)$. Desde $\iiint_{(0,1)^3}x^{2a}y^{2b}z^{2c}\,d\mu=\frac{1}{(2a+1)(2b+1)(2c+1)}$, obtenemos:

$$ \iiint_{(0,1)^3}\sum_{n\geq 3}g_n\cdot h_{n-2}(x^2,y^2,z^2)\,d\mu =\\= \sum_{\substack{a,b,c\geq 0\\(a,b,c)\neq (0,0,0)}}\frac{g_{a+b+c+2}}{(2a+1)(2b+1)(2c+1)}\tag{5} $$ y el último de la serie puede ser simplificado aún más por la informática: $$ l_n=\sum_{\substack{a,b,c\geq 0\\a+b+c=n}}\frac{1}{(2a+1)(2b+1)(2c+1)}\tag{6} $$ luego de computación $\sum_{n\geq 1}l_n g_n$, que obviamente está relacionado con la integral: $$\iiint_{(0,1)^3}g(x^2 y^2 z^2)\,d\mu = \iiint_{(0,1)^3}\frac{x^2 y^2 z^2}{\sqrt{1+x^2 y^2 z^2}}\,d\mu.\tag{7}$$