Forma de intersección en homología torcido (homología con coeficientes locales)

Question

La respuesta a esta pregunta debería ser obvio, pero me parece que no puede averiguar. Supongamos que tenemos una superficie de $F$, y una representación de $\rho : \pi_1(F)\to SU(n)$. Podemos definir la homología con local coeficientes de $H_*(F,\rho)$ directa de la homología de la trenzado complejo $$C_*(F,\rho):=C_*(\widetilde{F};\mathbf{Z})\otimes_{\mathbf{Z}[\pi_1(F)]} \mathbf{C}^n$$ where $\widetilde{F}$ is the universal cover, and $\mathbf{Z}[\pi_1(F)]$ actúa sobre cada lado de la manera obvia.

Ahora, este complejo es en realidad muy fácil de calcular explícitamente: acaba de levantar una buena base de células en $F$$\widetilde{F}$, y anote los mapas de los límites de forma explícita. Por ejemplo, si $F$ es un toro y tomamos $n=2$, dicen, se puede elegir un natural meridian-longitud base $(x,y)$$H_1(F)$, y el trenzado mapa de los límites de $\partial_1:C_1(F,\rho)=\mathbf{C}^4\to C_2(F,\rho)=\mathbf{C}^2$ es $$ \left( \begin{array}{ccc} \rho(x)-Id \newline\rho(y)-Id\end{array} \right)$$

Así que, aquí está mi pregunta. Desde $\rho$ es una representación unitaria, se debe obtener un trenzado de intersección de la forma en $H_1(F)$, simplemente por la combinación de la torsión de la intersección de formulario con el estándar de hermitian producto en $\mathbf{C}^2$, ¿verdad? Y me imagino que esto también es muy fácil de calcular, en una base similar, por ejemplo? Me parece que no puede averiguar cómo iba a ir. Podría alguien ayudarme, incluso show me cómo funciona por el mismo toro ejemplo?

O, si he dicho algo mal, dime donde?

Answer 1

Para mí es más fácil trabajar con cohomology (sólo por razones psicológicas). También, voy a distinguir la representación $\rho$ desde el sistema local $V$ con fibras de ${\mathbb C}^2$ que da lugar a la. Así que cuando usted escribe $H^1(F,\rho)$ escribiré $H^1(F,V)$. Dejaré $\overline{V}$ denota el complejo conjugado del sistema local a $V$. (Así que es la misma base del sistema local de abelian grupos, pero le damos el conjugar la acción de $\mathbb C$.)

El Hermitian vinculación de las fibras de $V$ $\overline{V}$ da un emparejamiento de los locales sistemas de $V \times \overline{V} \to \mathbb R$ donde $\mathbb R$ es la constante del sistema local con la fibra de los números reales. Si te gusta podemos pensar en esto como un $\mathbb R$-lineal mapa $V\otimes_{\mathbb C}\overline{V} \to \mathbb R.$ Este enlace inducir un mapa en cohomology $H^2(F,V\otimes_{\mathbb C}\overline{V}) \to H^2(F,\mathbb R)$.

Habrá también ser una copa del producto $H^1(F,V) \times H^1(F,\overline{V}) \to H^2(F, V\otimes_{\mathbb C} \overline{V})$. La composición de este con el mapa anterior en $H^2$ da su retorcida de la copa del producto $H^1(F,V)\times H^1(F,\overline{V}) \to H^2(F,\mathbb R)$.

Esto le da una perspectiva sobre su construcción. Para calcular esto, anote el trenzado cochains $C^{\bullet}(\tilde{F})\otimes_{\mathbb Z[\pi_1(F)]}\mathbb C^2$, entonces anote la copa del producto $$C^{\bullet}(\widetilde{F})\otimes_{\mathbb Z[\pi_1(F)]}\mathbb C^2 ) \times (C^{\bullet}(\widetilde{F})\otimes_{\mathbb Z[\pi_1(F)]}\mathbb C^2) \C^{\bullet}(\widetilde{F})\otimes_{\mathbb Z[\pi_1(F)]} \mathbb R^2 = C^{\bullet}(F,\mathbb R).$$ La copa del producto sólo estará dada por la fórmula habitual, y a continuación, usted también par el $\mathbb C^2$ partes de la cochains el uso de la hermitian de emparejamiento.

Esperemos que pueda seguir su nariz y hacer esto de forma explícita para el toro. A continuación, puede sólo dualize todo para llegar a la homología de la versión.

Answer 2

Lo que usted dice es correcto, y tiene sentido en cualquier incluso de dimensiones múltiples. La informática puede ser complicado: un enfoque útil es el uso regular de la célula compleja y el doble de complejo, a continuación, en el nivel de la cadena de la intersección que se forma está dada por la matriz de identidad (ver el primer par de páginas de Milnor "un teorema de la dualidad de Reidemeister de torsión").

Una sugerencia para el cálculo se asume $\rho$ es irreducible, ya que si $C^n$ se divide invariantly bajo el $\pi_1F$ acción lo hace el cohomology. En su torus ejemplo, desde la $\pi_1=Z\oplus Z$ es abelian, el único irreductible repeticiones son 1-dimensional. Para la característica de Euler razones (y la dualidad de Poincaré) en este caso resulta que el rep es trivial en el que caso de que usted sabe la respuesta, o bien la rep no es trivial en el que caso de que la homología se desvanece y la intersección que se forma es trivial. Para mayor género de las superficies que usted va a conseguir algo que no sea cero, pero en esta dimensión se obtiene un sesgo-hermitian forma, que es la que determina hasta iso por su rango, si estoy pensando con claridad. Para las dimensiones divisible por 4, puede ser interesante (es decir, no-cero) de la firma, pero para un cierre de colector es igual a n veces el ordinario de la firma por la retorcida forma de Hirzebruch firma teorema.

Pero el trenzado de la intersección de la forma es muy interesante, cuando el colector tiene un no-vacío límite, ya que da a los invariantes de la frontera. Cientos de artículos están basados en esta observación. Incluso cuando su superficie no vacío límite se puede conseguir algo interesante.