¿Cuál es la probabilidad de ganar? Juego del dado

Question

Tienes un dado. Si obtienes un punto en cualquier momento del juego, pierdes. Si obtienes dos,..., seis pips empiezas a añadir el número de pips a una suma. Para ganar la suma debe ser mayor o igual a 100. ¿Cuál es la probabilidad de ganar el juego?

Answer 1

Un enfoque alternativo, que sigue requiriendo un cálculo numérico, es definir un estado del sistema como la puntuación acumulada. El sistema comienza en el estado $0$ y hay un par de estados absorbentes $L$ (perdido) y $W$ (ganado). Esto da lugar a 102 posibles estados del sistema ${0,1,2,...,99,L,W}$ . Cada tirada de dados transforma el estado del sistema y es sencillo crear el 102 $\times$ 102 matriz de transición de estados, $T = (p_{ij})$ donde $p_{ij}$ es la probabilidad de pasar del estado $i$ al estado $j$ .

Multiplicando $T$ por sí mismo $n$ veces, se obtiene una matriz de las transiciones de estado resultantes de $n$ tiradas de los dados y la fila de esta matriz correspondiente al estado $0$ produce la distribución de los posibles estados de resultado después de estos $n$ rollos. Tomando $n\ge50$ garantiza que para esos resultados sólo $L$ y $W$ tienen probabilidades distintas de cero. (Obsérvese que, aunque es posible perder desde la primera tirada, la definición de $L$ como un estado absorbente con una transición correspondiente $L \to L$ con una probabilidad de 1 en $T$ significa que es legítimo incluir tiradas más allá de la perdedora. Del mismo modo, definir $W$ como estado absorbente significa que podemos considerar las tiradas después de ganar la partida).

En mi procedimiento de cálculo, he construido $T$ y a partir de esto se derivó $T^2,T^4,T^8,...,T^{64}$ . A partir de este último, mis resultados indican que la probabilidad de ganar es de 0,010197 (con 6 decimales).

Answer 2

Definir $p_n$ como la probabilidad de que la suma alcance exactamente $n$ . Trate de encontrar una relación de recurrencia para $p_n$ .

Las condiciones de partida son $p_2 = \frac{1}{6}$ , $p_3=\frac{1}{6}$ Tendrá que resolver en primer lugar $p_4, p_5$ y $p_6$ ya que son ligeramente especiales, pero a partir de ahí, debería ser más sencillo. La probabilidad de alcanzar $n>6$ es la probabilidad de alcanzar $n-2$ y el rodamiento $2$ o reaccionar $n-3$ y el rodamiento $3$ y así sucesivamente.

Una vez que haya $p_n$ en general $n$ , sólo hay que calcular $p_{100}+p_{101}+\dots + p_{104}$

Answer 3

La probabilidad de ganar con #2= $i$ , #3= $j$ , #4= $k$ , #5= $l$ y #6= $m$ viene dado por el coeficiente multinomial

$(1/6)^{i+j+k+l+m}\ \frac{(i+j+k+l+m)!}{i!\ j!\ k!\ l!\ m!}$ ,

donde $i$ , $j$ , $k$ , $l$ y $m$ están limitados por

$i\leq 50$ ,

$j\leq \lceil (100-2i)/3\rceil=j_{max}(i)$ ,

$k\leq \lceil (100-2i-3j)/4\rceil = k_{max}(i,j)$

$l\leq \lceil (100-2i-3j-4k)/5\rceil = l_{max}(i,j,k)$

$m= \lceil (100-2i-3j-4j-5l)/6\rceil = m(i,j,k,l)$ .

La suma de todas las opciones da como resultado

$\sum_{i=0}^{50}\sum_{j=0}^{j_{max}(i)}\sum_{k=0}^{k_{max}(i,j)}\sum_{l=0}^{l_{max}(i,j,k)}(1/6)^{i+j+k+l+m(i,j,k,l)} \frac{(i+j+k+l+m(i,j,k,l))!}{i!\ j!\ k!\ l!\ m(i,j,k,l)!}$ .

No veo la forma de reducirlo pero sería fácil ponerlo en una máquina para resolverlo.