No he leído detenidamente la prueba en tu post; me interesa más si este subconjunto es un colector topológico en lugar de una suave tal que el mapa cotizante sea una inmersión, lo cual, como dices, no es cierto, y es sencillo de ver; el diferencial debe matar necesariamente el espacio tangente de $S$ pero el "colector" cociente sigue siendo de la misma dimensión que $M$ porque $S$ tiene codimensión positiva.
Y sí, esto es posible. Toma $\Bbb{CP}^1 \subset \Bbb{CP}^2$ . Al colapsar esto en un punto se obtiene una copia de $S^4$ . (Para ver esto directamente, observe que $\Bbb{CP}^2$ se obtiene pegando un $D^4$ a $S^2$ por el mapa de Hopf en la frontera; colapsando el $S^2$ nos da un espacio obtenido al colapsar la frontera de $D^4$ hasta cierto punto: $S^4$ .)
A continuación se explica cómo se me ocurrió el ejemplo, y el principio general en juego. El teorema de la vecindad tubular dice que hay una vecindad de un submanifold $S$ difeomorfo a un haz vectorial (el haz normal) sobre $S$ . Así que basta con responder para este caso. Ahora bien, si $E$ es un paquete, y $S$ la sección cero, $E/S$ es contráctil, por lo que tiene homología trivial. Esto implica que $H_{*-1}(E/S - [S]) \cong H_*(E/S,E/S-[S])$ por la secuencia exacta relativamente larga. El primer grupo es isomorfo a $H_*(E-S)$ (¡son homeomorfas!), cuya deformación se retrae sobre el haz de esferas unitarias del haz vectorial. Ahora podemos concluir: Si $E/S$ era una variedad, entonces la homología local en $[S]$ $H_*(E/S,E/S-[S])$ tendría la misma homología de la esfera de dimensiones adecuadas. Esto es falso para muchísimos haces vectoriales (por ejemplo, si se colapsa una circunferencia en un colector, el resultado nunca es un colector) pero no siempre falso; la forma en que se me ocurrió el ejemplo anterior es que el haz de círculos sobre $S^2$ con clase de Euler 1 es $S^3$ y por lo tanto, por supuesto hace tienen la misma homología que $S^3$ ...
Aquí tenemos una prueba completa de que el cociente es un colector si y sólo si el haz de esferas es una esfera. (Es bastante limpia, más limpia que la anterior, pero pensé en dejarla para mostrar mi proceso de pensamiento). El cociente $E/S$ es homeomorfo al cono del haz de esferas. El argumento anterior muestra que siempre que el haz de esferas tiene la homología incorrecta, el cociente no es una variedad. Cuando tiene la homología correcta, pero no es simplemente conexo, sigue el argumento aquí . Ahora bien, cualquier variedad cerrada simplemente conectada con la misma homología que una esfera es una esfera, por la conjetura de Poincare.
Bien, ¿cuándo un haz de esferas es una esfera? Supongamos que $S^n$ se ajusta a una fibración con la fibra $S^k, k>0$ y la base $M$ . Entonces $M$ es necesariamente simplemente conectada, y un argumento directo de la secuencia espectral muestra que necesariamente la cohomología de la base es $\Bbb Z[x]/(x^n)$ donde $|x|$ es par. Esto sólo es posible si $|x|$ es 2 o 4 (o $|x|=8$ y $n \leq 3$ ); véase la proposición 4L.10 de Hatcher. Así que necesariamente la base tiene el mismo anillo de cohomología que $\Bbb{CP}^n$ o $\Bbb{HP}^n$ y está simplemente conectado (o la base es $S^8 = \Bbb{OP}^1$ o tiene el anillo de cohomología de $\Bbb{OP}^2$ ) En el caso $k=0$ lo mismo ocurre con $\Bbb{RP}^n$ y $\Bbb Z/2$ -coeficientes. Desgraciadamente, esto es lo más lejos que llegamos: es totalmente posible que esto sea no el fibrado obvio. Por ejemplo, existen falsos espacios proyectivos, tanto real y complejo todos los cuales (por el argumento dado en la última página) soportan haces de esferas con espacio total $S^n$ . Estoy seguro de que también hay una clasificación de los falsos espacios proyectivos cuaterniónicos. Probablemente se trata de una clasificación completa de los haces de esferas con el espacio total apropiado: todos son $S^0$ , $S^1$ o $S^3$ sobre un falso espacio proyectivo (o de nuevo el caso de $\Bbb{OP}^2$ ). No voy a llevar a cabo los detalles que este es el caso. (EDIT: Sí, esta es la clasificación; las variedades simplemente conectadas con este anillo de cohomología son homotópicamente equivalentes al espacio proyectivo apropiado, porque tienen una descomposición CW con una celda en cada grado $kn$ , $k=2,4,8$ ; entonces éstos son homotópicamente equivalentes a los espacios proyectivos por un argumento inductivo).
