Cómo encontrar un intervalo de confianza para una estimación de probabilidad máxima

Question

Mi primo está en la escuela primaria y cada semana se les da un libro por su maestro. Luego lo lee y lo devuelve en el tiempo para obtener otro de la próxima semana. Después de un rato empezó a notar que le estaba poniendo los libros que había leído antes y esto se convirtió poco a poco más común a lo largo del tiempo. Naturalmente, me empecé a preguntar cómo se puede estimar el número total de libros en su biblioteca.

Dicen que el verdadero número de libros en la biblioteca es $N$ y el maestro elige un uniformemente al azar (con reemplazo) para dar a cada semana. Si en la semana $t$ ha recibido un libro que hayas leído antes en $x$ ocasiones, puede producir una estimación por máxima verosimilitud de que el número de libros en la biblioteca de la siguiente ¿cuántos libros hay en la biblioteca? .

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Aclaración. Si los libros que recibe son nombrados $A,B,C,B, A, D$ $x$ $0,0,0,1,2,2$ en las semanas sucesivas.

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Sin embargo, hay una fórmula matemática como una función de la $t$ $x$ que me va a dar un 95% intervalo de confianza para esta estimación?

Answer 1

Voy a usar el marco de el libro de la biblioteca problema. Deje $K$ ser el tamaño de la muestra total, $N$ el número de diferentes elementos observados, $N_1$ ser el número de elementos que se ven una vez, $N_2$ el número de artículos visto dos veces, $A=N_1(1-{N_1 \over K})+2N_2,$ $\hat Q = {N_1 \over K}.$

A continuación, un aproximado de 95% intervalo de confianza en el total de la población el tamaño de la $M$ está dado por

$$\hat M_{Lower}={1 \over {1-\hat Q+{1.96 \sqrt{A} \over K} }} $$

$$\hat M_{Upper}={1 \over {1-\hat Q-{1.96 \sqrt{A} \over K} }} $$

Como se señaló en la discusión de la biblioteca problema, a veces el límite superior será infinito, especialmente para muestras pequeñas. Del mismo modo, el límite inferior puede ser necesario un tope de cero.

Este enfoque es consecuencia de la Buena y de Turing. Una referencia con el intervalo de confianza es Esty, Los Anales de Estadísticas, 1983.