Cero e infinito

Question

Introducción [puede omitirse sin pérdida de generalidad]. Esta pregunta fue cerrado y, recientemente, eliminados, tal vez por una buena razón. Tenía una respuesta con 10 upvotes, y otra (la mía) con 15 upvotes. Así que mi respuesta no se pierdan m.sí, pongo aquí una versión de la eliminan la pregunta, y mi respuesta.

Pregunta: ¿hay alguna situación en las Matemáticas, donde hay un sentido en el cual el cero y el infinito son identificados?

Nota: a pesar de que estoy publicando mi propia respuesta, me gustaría animar a otros a publicar en la suya.

Answer 1

En el entramado de la divisibilidad, donde nos preorder enteros diciendo que $a \preceq b$ significa que $b$ es divisible por $a$, el entero $0$ es el mayor elemento: por ejemplo, tenemos

$$ 1 \prec 2 \prec 6 \prec 24 \prec 120 \prec 720 \prec 5040 \prec \ldots \prec 0 $$

(He elegido el factoriales como el ejemplo de secuencia, debido a que cada número entero distinto de cero divide algunos factorial)

Hay un par de otros estrechamente relacionados con situaciones donde $0$ encaja en el papel, donde uno esperaría encontrar algo infinito.

(un preorder es reflexiva, transitiva de la relación. Dicho de otra manera, un preorder es un orden parcial en donde nos permiten distintos elementos a comparar por igual; por ejemplo,$-2 \preceq 2 \preceq -2$. Un orden parcial es como una normal de ordenar, excepto que no se requiere de cada par de números para ser comparables. por ejemplo,$2 \not\preceq 3$$3 \not\preceq 2$)

Answer 2

Topológicamente hablando, podemos tomar la línea real y darle dos puntos finales$+\infty$ y$-\infty$. Esto se llama la línea real extendida.

Entonces, podemos simplemente decretar que$0$ se identifica con$+\infty$ y con$-\infty$. El espacio topológico resultante es simplemente una figura$8$. O, para diversión adicional, podría decir que es$\infty$ - shaped.

Answer 3

Hay algunas situaciones en las matemáticas superiores donde el cero y el infinito son identificados, tipo de.

1. Los puntos en la gráfica de $y^2={\rm\ a\ cubic\ in\ }x$ formar un grupo abelian cuando además se define diciendo que tres puntos que añadir a cero si son colineales. El cero de los elementos de este grupo es el punto en el infinito. Las frases clave para aprender más acerca de esto es la "curva elíptica".

2. En la mitad superior-modelo de avión de geometría hiperbólica, "los puntos en el infinito" son los puntos en los $x$-eje, es decir, los puntos de con $y$coordenada cero.

En ambos casos, sería engañoso decir que, "a cero es igual a infinito". En el primer caso, el punto que actúa de la manera que usted esperaría de cero a la ley se encuentra físicamente en el infinito; en el segundo caso, los puntos que deben ser infinitamente lejos de haber sido traído a la altura de cero.

Answer 4

Hay un par de occations donde $0$ $\infty$ jugar más o menos el mismo papel, dependiendo del punto de vista. Por ejemplo, la característica de un (unitario) anillo de $R$ se define como la no-negativo del generador del núcleo de la única morfismos $f:\Bbb Z\to R$, y si que morfismos es, de hecho, inyectiva, a continuación, por lo tanto, dice que la característica de $R$ $0$ (siendo el único elemento del núcleo, no hay ningún otro generador de$~0$ para elegir; no obstante, podría decirse que el cero ideal no necesita ningún tipo de generadores en todo, al igual que un $0$-dimensiones subespacio de un espacio vectorial tiene un vacío de la base). Pero uno puede de forma alternativa de definir el carácter como la orden de $f(1)=1\in R$ en el grupo aditivo de $R$, que es el $\inf\,\{\,n>0\mid f(n)=0\in R\,\}$, lo que parece un lugar natural de la idea. Esta definición habría hecho la característica $\infty$ en el caso de que $f$ es inyectiva.