A continuación es un conceptual de la prueba de la irracionalidad de la raíz cuadrada. Se muestra que este resultado se sigue inmediatamente de la única fractionization -- la singularidad del denominador de cualquier reducción de la fracción, es decir, el mínimo denominador se divide cada denominador. Esto se sigue del hecho clave de que el conjunto de todas las posibles denominador de una fracción es cerrado bajo la resta tan consta de un ideal de a $\,\mathbb Z,\,$ necesariamente principal, ya que $\,\mathbb Z\,$$\rm PID$. Pero podemos eliminar esta culta del idioma para obtener el siguiente conceptual de alto nivel de la escuela de la prueba:
Teorema $\ $ Deje $\;\rm n\in\mathbb N.\;$ $\;\rm r = \sqrt{n}\;$ es integral si racional.
Prueba de $\ $ Consideran que el set $\rm D$ de todas las posibles denominadores $\,\rm d\,$ $\,\rm r, \,$ es decir $\,\rm D = \{ d\in\mathbb Z \,:\: dr \in \mathbb Z\}$. Aviso de $\,\rm D\,$ es cerrado bajo la resta: $\rm\, d,e \in D\, \Rightarrow\, dr,\,er\in\mathbb Z \,\Rightarrow\, (d-e)\,r = dr - er \in\mathbb Z.\,$
Más $\,\rm d\in D \,\Rightarrow\, dr\in D\ $$\rm\ (dr)r = dn\in\mathbb Z, \,$$\,\rm r^2 = n\in\mathbb Z.\,$, por tanto, por el Lema de abajo,
con $\,\rm d =$ menos elemento positivo en $\rm D,\,$ podemos deducir que los $\ \rm d\mid dr, \ $ es decir $\rm\ r = (dr)/d \in\mathbb Z.\ \ $ QED
Lema $\ $ Supongamos $\,\rm D\subset\mathbb Z \,$ es cerrado bajo la resta y que $\rm D$ contiene un elemento distinto de cero.
A continuación, $\rm D \:$ tiene un elemento positivo, y el menor elemento positivo de $\,\rm D\,$ divide cada elemento de a $\,\rm D$.
Prueba de $\rm\,\ \ 0 \ne d\in D \,\Rightarrow\, d-d = 0\in D\,\Rightarrow\, 0-d = -d\in D.\, $ por lo tanto $\rm D$ contiene un elemento positivo. Deje $\,\rm d\,$ ser el menor elemento positivo en $\,\rm D.\,$ Desde $\rm\: d\,|\,n \!\iff\! d\,|\,{-}n,\,$ si $\rm\ c\in D\,$ no es divisible por $\,\rm d\,$ luego nos
pueden asumir que los $\,\rm c\,$ es positivo, y lo menos que dicho elemento. Pero $\rm\, c-d\,$ es un elemento positivo de $\,\rm D\,$ no divisible por $\,\rm d\,$
y menor que $\,\rm c,\,$ contra leastness de $\,\rm c.\,$ $\,\rm d\,$ divide cada elemento de a $\,\rm D.\ $ QED
La prueba del teorema explota el hecho de que el denominador ideal $\,\rm D\,$ tiene la propiedad especial de que es cerrado bajo la multiplicación por $\rm\, r.\: $ El fundamental papel que desempeña la propiedad se vuelve más claro cuando uno aprende acerca de Dedekind la noción de un conductor ideal. El empleo de tales rendimientos trivial de la línea de prueba de la generalización de que un dominio de Dedekind es integralmente cerrado desde el conductor ideales son invertible, entonces cancelables. Este punto de vista sirve para generalizar y unificar todos los ad-hoc pruebas de esta clase de resultados - esp. esas pruebas que proceden fundamentalmente por el descenso en los denominadores. Este conductor basado estructurales punto de vista no es tan conocido como debería ser - por ejemplo, incluso algunos famosos número de teóricos han pasado por alto esto. Ver mi post aquí para más detalles.
