Cómo probar la desigualdad $2 \sqrt {n + 1} − 2 \le 1 + \frac 1 { \sqrt 2}+ \frac 1 { \sqrt 3}+ \dots + \frac 1 { \sqrt n} \le 2 \sqrt n − 1$ ?

Question

Pruebe que para cualquier número entero positivo $n$ , $$2 \sqrt {n + 1} − 2 \le 1 + \frac 1 { \sqrt 2}+ \frac 1 { \sqrt 3}+ \dots + \frac 1 { \sqrt n} \le 2 \sqrt n − 1$$

Progreso

Creo que la suma de Riemann debería usarse para el término medio. Tengo el límite como $n \to \infty $ de la función en el interior usando la suma de Riemann pero lo que no puedo obtener es el límite inferior y superior.

Answer 1

Hay una solución difícil usando estimaciones integrales: $$2 \sqrt {n+1}-2= \int_1 ^{n+1} \frac1 { \sqrt n} \le\sum_ {k=1}^n \frac1 { \sqrt n}=1+ \sum_ {k=2}^n \frac1 { \sqrt n} \le 1+ \int_1 ^n \frac1 { \sqrt {n}}=1+2 \sqrt n-2=2 \sqrt n-1$$

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Pero se puede proceder fácilmente por inducción, el caso base es trivial y $$(2 \sqrt {n+1}-1)-(2 \sqrt n-1)=2( \sqrt {n+1}- \sqrt n)=2 \frac {(n+1)-n}{ \sqrt {n+1}+ \sqrt n}= \frac2 { \sqrt {n+1}+ \sqrt n} \ge\frac1 { \sqrt {n+1}}$$ Así que la diferencia de los sucesivos lados de la derecha es mayor que lo que se añade al medio.

Y de manera similar la otra desigualdad: $$(2 \sqrt {n+2}-2)-(2 \sqrt {n+1}-2)=2( \sqrt {n+2}- \sqrt {n+1})= \frac2 { \sqrt {n+2}+ \sqrt {n+1}} \le\frac1 { \sqrt {n+1}}$$

Answer 2

Pista: Aviso $ \dfrac {1}{ \sqrt {n}}= \dfrac {2}{2 \sqrt {n}}< \dfrac {2}{ \sqrt {n}+ \sqrt {n-1}}=2( \sqrt {n}- \sqrt {n-1}), \quad n>1$

De la misma manera, $ \dfrac {1}{ \sqrt {n}}>2( \sqrt {n+1}- \sqrt {n}), \quad n>1$

Answer 3

La suma de Riemann no sólo es útil en su límite cuando se acerca a la integral. Si $f$ es una función no creciente, la suma de Riemann inferior y superior corresponde a una partición de $[1,n]$ en puntos enteros están dados por los extremos izquierdo y derecho, es decir, tenemos $$ \sum_ {k=1}^{n-1} f(k) \le\int_1 ^{n}f(x)\, \mathrm dx \le \sum_ {k=2}^{n} f(k)$$ Por el contrario, concluimos que, por ejemplo. $$ \int_1 ^{n}f(x)\, \mathrm dx+f(1) \le \sum_ {k=1}^{n} f(k) \le\int_1 ^{n}f(x)\, \mathrm dx+f(n)$$ Con $f(x)= \frac1 { \sqrt x}$ la integral definitiva es $2 \sqrt x \bigr |_1^n=2 \sqrt n-2 $ así que tenemos $$ 2 \sqrt n-1 \le 1+ \frac1 { \sqrt 2}+ \ldots + \frac1 { \sqrt n} \le 2 \sqrt n-2+ \frac1 { \sqrt n},$$ que es ligeramente más fuerte de lo que pide la declaración del problema.