Hace poco estuve pensando acerca de los números primos, y en ese momento yo no sabía que tenía que ser mayor que $1$. Esto me puso a pensar acerca de los negativos de los números primos, aunque, y de pronto me di cuenta de que, por ejemplo, $-3$ podría no ser la mejor, porque $3 \cdot (-1) = -3$. En cierto sentido, $-1$ podría ser, porque aunque sus únicos factores que son enteros se $-1$$1$, y esto es permitido por los números primos. Hay alguna manera, por esta lógica, que $-1$ puede ser considerado como un primer entonces?
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- ¿Es el número $-1$ ¿Primero? (14 respuestas )
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HappyEngineer
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Si definimos el primer fin de que $-1$ es el primer, único de la factorización en números primos de falla, ya que $6=3\cdot 2=3\cdot 2\cdot (-1)^2$. Por lo que no es útil para definir $-1$ como una de las principales.
Cuando llegamos a la matemática superior, nos encontramos con que cuando hablamos de "primos" en otros sistemas, estamos obligados a tratar cualquier par de números que dividen cada uno de los otros como "equivalentes". Es decir, si $a$ dividido $b$ $b$ divide $a$, entonces tratamos $a$ $b$ "equivalente" a los efectos de primeness y factorización.
En particular, cualquier número que divide $1$ es equivalente a $1$, ya que el $1$ divide todo. Los números que son equivalentes a $1$ son llamados "unidades".
En los números enteros, las unidades sólo se $+1$$-1$, por lo que podemos evitar esta complicación por hablar sólo de los enteros positivos. En otros anillos, no somos tan afortunados.
barak manos
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La lógica de su argumento para $-1$ siendo el único negativo prime:
- $-3$, por ejemplo, podría no ser la mejor, porque es igual a $3\cdot(-1)$
- $-1$, sin embargo, es primo porque es divisible sólo por sí mismo y por $1$
De acuerdo a esta lógica, $+1$ es el único positivo primo, ya que:
- $3$, por ejemplo, podría no ser la mejor, porque es igual a $(-3)\cdot(-1)$
djechlin
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1869
Si usted piensa que los números negativos son extraños, tratar los números imaginarios.
Realmente no hay una buena manera de pensar de los números positivos. Se podría decir un número imaginario es positivo si su parte real es positivo, pero aún así obtener resultados como $(1+2i)(1+2i) = -3+4i$ lo que de inmediato perder el hecho de que el producto de dos números positivos es positivo. Eso significa que una vez que empiezas a pensar acerca de la única factorización se puede escapar a la "positiva" números muy fácilmente, y usted está de nuevo el problema con el que comenzó.
Única factorización parece fallar, porque $17 = (4+i)(4-i) = (-1+4i)(-1-4i)$. Pero ¿que son realmente importantes? Jugar con más complicada ejemplos, verás el patrón de que el factorizations anotar parecen sospechosamente a cada uno de los otros.
Yo diría que la razón más sencilla $6 = 2\cdot3 = -2\cdot-3$ no violar la descomposición en factores primos es que estamos interesados en encontrar la estructura de los números, y si eso significa que nuestro único teorema de factorización debe protegerse a sí mismo de "ruido" que los números negativos introducir. Debe quedar claro que los signos negativos se ofuscación de la estructura, no es cierto contraejemplos.
Si juegas con el complejo enteros usted encontrará que el "ruido" que interfiere con la única factorización son $1$ $-1$, $i$ y $-i$. Estas son las unidades: los números que se dividen $1$, y por lo tanto dividir cualquier cosa, sin embargo, por favor.
Los números naturales en el entero llegar a hacer un poco de trampa porque son cerrado bajo la multiplicación, por lo que tiene suficiente estructura matemática que ser considerados cuidadosamente y evite la unidad de ruido sin ningún trabajo adicional. Pero una vez que nos fijamos en otros sistemas de numeración, tenemos que pensar acerca de las unidades y atento a cómo interfieren con factorizations.
También, por lo general no decir $-1$ es primo. Usted puede si usted quería - definiciones son algo de una construcción social; es teoremas que están fuera de nuestro control, pero usted podría encontrar que te ofrecen una gran cantidad de interferencia cuando realmente te gustaría trabajar con más típico de los números primos como $3$$-2+i$.
Mark Struzinski
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En lugar de números primos, considerar el conjunto $S = \{p^{2^n} \space\vert\space n,p \in \mathbb{N}, p \space \text{prime}\}$. Estos son los números primos así como los cuadrados de los números primos, cuarto de poderes, octavo poderes, etc. Cada entero positivo se puede representar de forma única como producto de los distintos elementos de $S$, en otras palabras, la multiplicación es un bijection entre el $\mathbb{N} \setminus \{0\}$ y el conjunto de los subconjuntos finitos de $S$, esto puede ser visto por escrito una factorización prima con cada exponente en base $2$. Claramente, la multiplicación es también un bijection entre el $\mathbb{Z} \setminus \{0\}$ y el conjunto de los subconjuntos finitos de $S \cup \{-1\}$. Así, mientras que $-1$ no es como un primer parece justo decir que es como un prime a la potencia de una potencia de $2$.
Big Al
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Cuando se habla de números primos puede ser útil saber que los matemáticos dividir los números enteros en cuatro tipos. Siguientes son los cuatro tipos y sus definiciones.
En primer lugar, hay cero. Está en una clase por sí mismo. Es especial porque es la identidad aditiva.
En segundo lugar, hay unidades. Una unidad es cualquier número que es divisor de 1. (¿Por qué 1? Porque es la identidad multiplicativa.) La única enteros que dividen en 1 son 1 y -1. Así que esas son las dos únicas unidades.
En tercer lugar, hay números primos. Un primo es un número entero que satisface las siguientes dos propiedades: en Primer lugar, no es ni cero ni una unidad. Segundo, siempre que se divide en un número de ab, también se divide en una o b. (De manera informal, p's la capacidad de dividir en ab no puede ser porque "parte" de ella se divide en una y "parte" se divide en b. El número entero p debe ser, tanto figurativa y literalmente, indivisible.)
En cuarto lugar, hay compuestos. Un compuesto es un número entero que no es ni cero ni una unidad o un primo.
De acuerdo a estas definiciones, 13 y -13 son números primos. 6 y -6 son compuestos. Y el cero, 1 y -1 son ni el primer ni compuesto.
Estas definiciones, por supuesto, son sin duda arbitrario. Pero son las definiciones que usan los matemáticos. La popular definición de una prima ("un número mayor que 1, que puede ser dividido sólo por sí mismo y 1"), es una simplificación que no es del todo exacto.
