Si tengo dos colectores conectados no orientables tales que sus fundas dobles orientables son homeomorfas, ¿se puede decir algo de los colectores? ¿Son homeomorfas?
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mland
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Ellos son, en general, no homeomórficos. Aquí es un contraejemplo. Considerar el colector $X = S^2 \times S^2 \times S^2$. Se definen dos libres de $C_2$ acciones en X, donde a $C_2$ es el grupo cíclico de orden $2$. La primera es $(x,y,z) \sim (-x,y,z)$ y el segundo es $(x,y,z) \sim (-x,-y,-z)$. Usted obtener dos cocientes son, por un lado, $\mathbb{R}P^2\times S^2 \times S^2$ y en el otro lado, parte de la $6$-colector $M$.
Ya que ambas acciones son la orientación revertir puede ver que ambos coeficientes son no-orientable. Además desde $X$ es simplemente conectado a ambos cocientes ha $C_2$ como grupo fundamental. Esto implica directamente que $X$ debe ser en ambos casos, la orientación de la cubierta doble (ya que sólo hay uno conectado 2-sheated que cubren más de la cocientes).
Ahora pretendemos que $M$ $\mathbb{R}P^2\times S^2 \times S^2$ no homeomórficos. Esto se puede demostrar el uso racional cohomology. Para $\mathbb{R}P^2\times S^2\times S^2$ usted puede hacer esto mediante la Künneth, y para $M$ I en el momento no se sabe de una razón mejor que el uso de la Cartan-Leray espectral de secuencia para mostrar que $H^*(M;\mathbb{Q}) \cong H^*(X;\mathbb{Q})^{C_2}$ donde el último significa que el $C_2$-invariantes de la cohomology de $X$ por la inducción de la $C_2$-acción. Ahora puede distinguir los dos colectores por H^2 y H^4.
Sería interesante identificar explícitamente el colector $M$ si esto es posible.
He aquí un ejemplo un poco más fácil que el de mland.
Sea$X = S^2\times S^4$ Then$X$ es la portada universal (orientación) de$\mathbb{R}P^2\times S^4$ y$S^2\times \mathbb{R}P^4$. Por la fórmula de Kunneth,$H_2(\mathbb{R}P^2\times S^4) \cong 0$ while$H_2(S^2\times \mathbb{R}P^4) = \mathbb{Z}$.
Algo relacionado, (si desea un ejemplo de dimensión inferior),$T^2\times S^2$ cubre tanto$K\times S^2$ como$T^2\times \mathbb{R}P^2$ donde$K$ indica la botella de Klein. En este caso, el grupo fundamental del primero es no -abeliano mientras que el grupo fundamental del segundo es abeliano.
