Si$\varphi: F_n\to F_n/[F_n,F_n]$ está en, entonces existe$\Phi:\mathrm{Aut}(F_n)\to \mathrm{Aut} (F_n/[F_n,F_n])$. ¿Por qué?

Question

Mi pregunta es la siguiente: Vamos a $G:=F_n$ Si nos fijamos en el colector de un subgrupo $[G,G]$$G$, obtenemos la canónica epimorphism

$\varphi: G\to G/[G,G]$

Desde $[G,G]$ es característico en $G$, sabemos que $Aut(G)$ actúa de una manera natural en el factor grupo $G/[G,G]$ y obtener un mapa:

$\Phi:\mathrm{Aut}(G)\to \mathrm{Aut} (G/[G,G]);\alpha(g) \mapsto \bar{\alpha}(g*[G,G]):=\alpha(g)*[G,G]$

Pero, ¿cómo puedo demostrar que $\Phi$ es un epimorphism?

Añadido.

Cuando yo estaba haciendo la pregunta que nos fueron en el caso general, donde $G$ es arbitraria grupo. Porque de algunas respuestas, he editado la pregunta en el caso, donde $G=F_n$, el grupo libre de rango $n$.

Gracias a este último comentario, ahora sé que hay una solución en el libro "Combinatoria, Teoría de grupos" de Magnus. No tengo el libro a mi lado. Así que, ¿alguien sabe de una prueba para la existencia de la epimorphism $\Phi$. Creo que, si asumimos que $Aut(F_n)$ es generado por el derecho nielsen transformaciones, sólo tenemos que demostrar que $Aut(F_n/[F_n,F_n])$ es generado por estos trasnformations, ya que sabemos que todas las $\alpha\in Aut(F_n)$ induce un $\bar{\alpha}\in Aut(F_n/[F_n,F_n])$. ¿Es esto cierto? Y ¿cómo podemos hacer esto?

Answer 1

(Al ser $\Phi$) no siempre surjective, y así no es siempre una epimorphism. No puedo pensar en una no complicada ejemplo...así que voy a ir por un vago complicado! (Cito de un artículo, por lo que se considera como complicado.)

Si usted toma un Baumslag-Solitar grupo $BS(n, n)=\langle a, b;ab^na^{-1}=b^n\rangle$ $n>1$ a continuación, se ha abelianisation $\mathbb{Z}^2$, lo que ha automorphism grupo $GL(2, \mathbb{Z})$. Sin embargo, $BS(n, n)$ ha exterior automorphism grupo $D_{\infty}\times C_2$ (esto es un resultado de Gilbert, Howie, Metaftsis y Raptis, y se puede encontrar en su papel de "Árbol de acciones de automorphism grupos"), que es prácticamente cíclico. Es un ejercicio fácil para probar que homomórfica imágenes de prácticamente-cíclico de los grupos son prácticamente cíclico, y es bien sabido que el $GL(2, \mathbb{Z})$ no es prácticamente cíclico.

Así, tomando nota de que $\Phi$ factor a través del interior automorphism grupo, si es inducida por la abelianisation mapa, esto proporciona un contra-ejemplo.