Demostrar que si $2^x,3^x, 5^x, 7^x, 11^x ... $ son todos enteros entonces $x$ también es un número entero

Question

¿Cómo de fácil es demostrar que si $2^x,3^x, 5^x, 7^x, 11^x ... $ son enteros entonces $x$ ¿también es un número entero? He leído la definición de las funciones de los exponentes tal y como se da en mi texto de cálculo, y la pregunta se apuntala.

Answer 1

Dado $ 2^x $ , $ 3^x $ , $ 5^x $ ...son números enteros. Supongamos ahora que $ x $ no es un número entero. Supongamos que es racional de la forma $ p/q $ donde $ gcd(p,q) = 1 $ . Así que $ 2^{p/q} $ , $ 3^{p/q} $ ... no pueden ser enteros, ya que la base de los exponentes son todos primos.