El problema es: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+3)}$
Lo primero que hice fue utilizar el test de divergencia que no sirvió de nada ya que el resultado del límite fue 0.
Si lo multiplico, el resultado es $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+3n}$
Me pregunto si puedo considerar esto como una serie p y simplemente usar la mayor potencia. En este caso la potencia sería 2, lo que significaría que converge. Si esta es la forma correcta de hacer esto, ¿cómo puedo encontrar donde converge a.
En primer lugar, utilice las estimaciones
$$ n^2 + 3n \geq n^2 \implies \frac{1}{n^2 + 3n } \leq \frac{1}{n^2} $$
En segundo lugar, demuestre que $\sum \frac{1}{n^2}$ converge. De hecho, lo hace. Más generalmente,
$$ \sum \frac{1}{n^p} \; \; \text{converges when} \; \; p > 1 $$
En tercer lugar, utilice el teorema de la comparación: si $a_n \geq b_n $ para todos $n$ y $\sum a_n$ converge, entonces $\sum b_n$ debe converger también (¿Prueba?)
Ahora, como aplicación de este teorema, con $a_n = \frac{1}{n^2} $ y $b_n = \frac{1}{n^2 + 3n}$ , observamos que su serie
$$ \sum \frac{1}{n^2 + 3n} $$
debe converger.
$$n^2 + 3n > n^2 \implies \frac{1}{n^2 +3n} < \frac{1}{n^2}$$
Utilice la prueba de comparación que establece que si $\sum a_n$ y $\sum b_n$ son tales que $0 \le a_n \le b_n$ Si $\sum b_n$ converge, entonces $\sum a_n$ converge.
Desde $0 < \sum \frac{1}{n^2 +3n} < \sum \frac{1}{n^2}$ y $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, entonces $\sum \frac{1}{n^2 +3n}$ converge.
Editar. Nota: $\sum \frac{1}{n^2}$ converge ya que es una serie p $$f(x) = \frac{1}{X^p}$$ con $p > 1$ y por lo tanto converge.
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