Gödel Primer y Segundo Teoremas de la Incompletitud son bien conocidos, y que normalmente se enseñan la mayoría de las universidades de pregrado en la lógica de los cursos. En mi lógica curso que estoy tomando, nos fuimos a la prueba de Gödel de Teoremas. Estoy seguro de que aquí todo el mundo sabe de este teorema, pero me deja explícitamente a estar en la misma página. Utilizamos la Computabilidad y la Lógica por Boolos et al. Aquí está el resultado exacto que hemos probado:
Teorema. (Gödel Primer Teorema de la Incompletitud) no es coherente, completa, axiomatizable extensión de Q.
donde Q es una teoría que puede hacer un mínimo de aritmética, sólo tiene +, * y 0 como sus símbolos, junto con algunos axiomas (el conjunto de los números cardinales es un modelo de la teoría de la Q , pero no el conjunto de los números ordinales).
Tener explícitamente el resultado matemático quiero cuestionar el alto nivel de valor de este teorema. No tengo ninguna duda de que este resultado es muy importante para las matemáticas. Este post no pusieron en duda la importancia del teorema, pero en el momento de su llamado "inesperado" de la naturaleza. El teorema parece muy intuitiva para mí por dos razones.
En primer lugar, cualquier persona que ha hecho las matemáticas en la axiomática del contexto (como el álgebra abstracta) no debería sorprender el hecho de que hay algunas declaraciones en las teorías que son independientes de ellos. La teoría de los grupos de no demostrar la conmutatividad. También no refuta también. Por lo tanto, tenemos tanto no conmutativa grupos y abelian grupos. La teoría de anillos no probar o refutar conmutatividad, el ser no-cero cero divisores, tener un Euclidiana algoritmo de la división, etc... no veo la diferencia entre estos dos escenarios. Ahora imagina T a ser una teoría que puede hacer un mínimo de aritmética (que se extiende Q), es consistente y axiomatizable. Entonces por Gödel de la primera, hay una frase phi tal que T no prueba phi ni tampoco demostrar que no phi. Pero esto parece que me dicen que hay una media aritmética de la verdad, phi o no phi que no es capturado por la teoría de la T. Del mismo modo, el algebraicas verdad conmutativa o no conmutativa no es capturado por la teoría de la G , donde G es la teoría de grupos. ¿Por qué es el ex inesperado, sorprendente, resultado paradójico considerando que la matemática de la literatura tiene un montón de situaciones similares a la de este último? Hay una diferencia que yo no sepa? Parece que es bastante normal para una consistente teoría matemática para estar incompleta.
La segunda razón viene de un más escéptico punto de vista. He leído Gödel de textos filosóficos, tales como Gibbs Conferencia, él parece pensar que la aritmética, lógica y teoría de conjuntos (ZF) es lo que se llama la matemática adecuada , de modo que a priori verdades mientras que teorías como la geometría Euclidiana, álgebra, etc... son condicionalmente verdad de los enunciados matemáticos (este esta axiomas siga este teoremas). Él parece pensar-y esto parece ser una creencia común entre los matemáticos-que hay algo inherente en la lógica, la aritmética y la teoría de conjuntos que se hace evidente en sí mismos que todo lo que necesitamos es axiomatize ellos. Pero esto no parece como un bien pensado argumento para mí. Cantor se puede decir lo mismo para los que la teoría de conjuntos. Russel sin duda pensó que su formalismo va a resultar todo. Hilbert sin duda el pensamiento de las matemáticas podría ser tanto puede probar consistente y completa. Por otra parte, parece que los axiomas elegimos para la aritmética influye profundamente en lo que los modelos; por ejemplo Q es modelada por los cardenales, pero no los números ordinales. Del mismo modo, algunas de las teorías que axiomatize ordinales no son modelados por los cardenales. Así que, ¿por qué pensamos que la aritmética es la teoría especial de que nos iba a esperar no ser incompleta? La aritmética parece, a mi humilde ojos, como si otra teoría.
