¿Puedo interpretar el exponencial del operador derivado,$e^D$, como operadores de cambio infinito cada uno cambiando "infinitesimalmente"?

Question

Para explicar mejor lo que quiero decir, un ejemplo de ello puede ser muy útil. Considere la posibilidad de $e^{i\theta}$. Podríamos expresar esto mediante la definición de la serie o el límite de la definición de $e^x$ lugar:

$$e^{i\theta} = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{\theta}{n}i\right)^n$$

Si queremos ver visualmente lo que está pasando como $n$ crece podemos ver en el siguiente GIF de la Wikipedia:

$\hskip2in$

Esencialmente, cada factor en el producto anterior como $n$ crece, tiene su norma de que la reducción a $1$ y su ángulo de obtener "infinitamente pequeños". La idea intuitiva sería que al multiplicar todos los factores de agregar todos los (muy pequeño) de los ángulos de la total $\theta$ y multiplicar todas las normas que en el límite de da $1$.

He considerado la posibilidad de aplicar esta intuición a la exponencial del operador de la derivada, que desplaza la función se aplica a:

$$e^{cD} f(x)=f(x+c)$$

He considerado la posibilidad de reescribir el operador de la derivada como un límite en términos del operador de desplazamiento y, a continuación, insértelo en la definición del producto de la exponencial ($I$ es la identidad en lo que sigue), donde llevo a $c=1$ sencillez:

$$Df(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\equiv\lim_{h\to0}\frac{S(h)-I}{h} f(x)$$

$$e^{D} = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n} \lim_{h\to 0}\frac{S(h)-I}{h} \right)^n$$

La única manera que veo para llegar a la exponencial, siendo la composición de muchos de los "pequeños" operadores de desplazamiento es si evaluamos el doble límite a lo largo de $h=1/n$ (o $n=1/h$ como alternativa) en caso de que el anterior se simplifica y llegamos $e^{D}=\lim_{n\to\infty}S^n(1/n)=S(1)$ pero no puedo pensar en ninguna forma de justificar la toma de que la ruta de acceso específica, $h=1/n$, cuando la evaluación de los límites.

Para resumir, me gustaría ayudar con dos cosas:

1. Es conceptualmente sonido para interpretar el $e^D$ en la forma anterior?
2. Si es así, puedo probar con algo de rigor por encima de la intuición?

Gracias por su tiempo.

Answer 1

Creo que su intuición tiene sentido, pero la forma en que usted va sobre la prueba puede ser un poco incómodo.

Hagamos esto en su lugar:$$e^Df = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac Dn\right)^nf.$ $ Pero $$ \begin{align} \left(1+\frac Dn\right)f &= f+\frac1nf', \\ S_{1/n}f &= f + \frac1n f' + O(1/n^2), \end {align} $$ al menos cuando$f''$ está delimitado. Así que cada operación$(1 + D/n)$ es como un pequeño cambio, y $$ \begin{align} e^Df &= \lim_{n\to\infty}\bigl(S_{1/n}+O(1/n^2)\bigr)^nf \\ &= \lim_{n\to\infty}\bigl((S_{1/n})^n+O(1/n)\bigr) f \\ &= S_1 f. \end {align} $$

Answer 2

No, no se trata de operaciones de desplazamiento infinitesimales que se unen para formar un gran cambio finito. Sólo cuando se suma la totalidad de la expansión taylor de la derivada exponencial, se terminará con algo que se parece a la función original, desplazado.