Un haz vectorial admite una sección covariativamente constante local si es plano

Question

Deje $p:E\rightarrow M$ ser un vector paquete de más de un colector $M$ y deje $\nabla$ ser una conexión en $E$. Estoy tratando de mostrar que $E$ admite un covariantly constante de la sección $s$ en una vecindad de cada punto (es decir,$\nabla s = 0$), si y sólo si la curvatura de $\nabla$ es 0. Creo que puedo mostrar que una sección paralela implica 0 curvatura del uso de las diversas simetrías del tensor de curvatura.

Estoy seguro acerca del converso. Si podemos demostrar que el transporte paralelo a sólo depende de la homotopy clase de la ruta, entonces se puede producir un covariantly constante de la sección paralela de transporte de algunos fijos vector a cada punto. Pero, no estoy seguro de cómo obtener este como consecuencia de 0 curvatura. Alguna sugerencia?

Answer 1

He aquí una prueba: escoger un homotopy $h_s(t) = H(s,t)$ entre dos caminos $h_0$ $h_1$ $M$ y considerar el transporte paralelo a lo largo de cada una de las curvas de $h_s$. A continuación, podemos mostrar que el vector resultante de campo a lo largo de $H$ será paralelo, no sólo en el $t$-dirección, sino también en el $s$ dirección. En este paso se utiliza la fuga de la curvatura de la asunción. A partir de esta afirmación de la siguiente manera, debido a una homotopy hojas de los extremos fijos. Por lo tanto, el vector de campo paralelo en el $s$-dirección en $t=1$ – debe ser constante, si sólo varían $s$. Aquí están los detalles.

Deje $I= [0,1]$. Supongamos que tenemos un homotopy $$H: I\times I \to M, \quad (t,s)\mapsto H(t,s) = h_s(t)$$ between two paths $h_0 = H(\cdot,0)$ and $h_1 = H(\cdot,1)$. Let $x = h_s(0)$ and $y=h_s(1)$ denote the two endpoints (which are assumed to be fixed during the homotopy). Let $v\in E$ with $p(v) = x$. We denote by $t\mapsto V(s,t)$ the parallel transport of $v$ along $t\mapsto h_s(t)$ for any $s\I$, i.e. $V$ satisface $$\nabla_{t} V = 0 \;\; \forall s,t\in I \quad \text{and} \quad V(s,0) = v\;\; \forall s\in I.$$

Fuga de curvatura implica que $\nabla_t \nabla_s V = \nabla_s \nabla_t V$ todos los $s,t\in I$. Así, para cualquier fija $s\in I$, $t\mapsto \nabla_s V(s,t)$ satisface $\nabla_t \nabla_s V(s,t) = \nabla_s\nabla_t V(s,t) = 0$$\nabla_sV(s,0) = \nabla_s v = 0$. Por la singularidad de transporte paralelo, se deduce que el $\nabla_s V = 0$. En particular, para $t=1$, obtenemos que $\nabla_s V(s,1) = 0$. Desde $h_s(1) = y$ es el camino constante en $y$, se deduce que el $V(0,1) = V(1,1)$. Por lo que el transporte paralelo de $v$ a lo largo de $h_0$ $h_1$ está de acuerdo en su punto final común. $\square$