Un palíndromo es un número o palabra que es la misma cuando se lee hacia adelante y hacia atrás, por ejemplo, "176671" y "cívica". ¿Puede el número obtenido escribiendo los números de 1 a n en orden (n> 1) ser un palíndromo?
Respuestas
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No. Con $n=1$, tenemos un palíndromo de curso. Pero para $n>1$ podemos excluir claramente el caso de $n\le 10$. De hecho, tenemos $n\equiv 1\pmod {10}$, mientras que el capicúa de la cadena de ms debe terminar en "$\ldots 1$". Deje $k\ge1$$10^k<n<10^{k+1}$. Entonces no es exactamente una posición en el supuesto palindrómicas cadena "$12345\ldots54321$" donde "$1\underbrace{0\ldots0}_k1$" se produce: En la ausencia de ceros a la izquierda, sólo el dos $1$s en este bloque pueden ser los dígitos iniciales de algunos números, y dado que ningún número se ha más que $k+1$ dígitos, de hecho tanto $1$s debe ser líder dígitos, es decir, la única posición en la que este patrón se produce es en el número de $10^k$ (junto con el líder de $1$$10^k+1$). Para un palíndromo, una forma única de que ocurran subpalindrome debe estar en el centro. Pero es precedida por "$\underbrace{9\ldots9}_k$"$10^k-1$, seguido de "$\underbrace{0\ldots0}_{k-1}1$" como el resto de $10^k+1$, contradiciendo el capicúa de simetría.
Andy Castles
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58
La respuesta es no - hay una variedad de maneras para probar esto. Por ejemplo, considere el número de $k$ en la lista con la mayoría de los 0, diremos $m$ de ellos. Claramente, $k$ debe constar de un solo dígito, seguido por $m$ 0, de lo contrario no sería un número delante de ella con más de 0. Ahora tenemos dos casos:
- Caso 1: $k$ es el único número con $m$ 0. A continuación, $k$ debe ser el número del medio en el palíndromo, de lo contrario $k$ no tiene un único número de 0. Sin embargo, el resultado de la concatenación de números enteros no es un palíndromo, ya que el número antes de $k$ , $(\ldots999)$, no es simétrica con el número a es: $(\ldots00001)$.
- Caso 2: Hay varios números con $m$ 0. Considere la posibilidad de la derecha, decir $k=n\cdot10^m$ algunos $n>1$. A continuación, $k$ está incrustado en el palíndromo entre el$((n-1)999\ldots)$$((n)00\ldots01)$. Desde $k$ es el extremo derecho de la aparición de $m$ 0, a la izquierda de la apariencia es lo $(10\ldots0(n))(00\ldots0(n))(99\ldots9(n-1))$. Sin embargo, esto es absurdo, ya la izquierda de la mayoría de la apariencia es, naturalmente,$10^m$.
Por lo tanto, es imposible para la concatenación de las $n$ enteros $1$ a través de $n$ a un palíndromo.
runeh
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1304
Aquí hay un comienzo de la tarea en la que los números no tienen que estar en orden. Tenga en cuenta que un palíndromo puede tener como máximo un dígito que se produce un número impar de veces - el dígito central si el número de dígitos es impar.
Ahora después de 1, usted tiene que tener todos los dígitos 1-9 - nueve dígitos. Si se detiene por debajo de 100, siempre tendrá un número impar de dígitos (1-9 pares más de los números de dos dígitos). Así que usted puede trabajar en paridades de dígitos para reducir el número de casos que tiene que considerar.
