Si el límite de$|f|$ es diferente a$\infty$, entonces es$f$ divergente a$\infty$ or$-\infty$?

Question

Sea $f$una función real y$a$ sea un punto límite de su dominio.

Supongamos que$\lim_{x\to a} |f(x)| = \infty$.

¿Cómo puedo probar que si$f$ es continuo en su dominio, su límite es$\infty$ or$-\infty$? (Y su dominio está conectado)

Creo que la continuidad es esencial

Por ejemplo, una función$g:(0,\infty)\rightarrow \mathbb{R}$ tal que$g(x)=1/x$ if$x$ es racional y$g(x)=-1/x$ es irracional, no tiene su límite en$x$.

Answer 1

Aquí es lo que usted puede probar : si $\lim_{x \to a^+} |f(x)| \to \infty$, entonces cualquiera de las $f(x) \to \infty$ o $f(x) \to -\infty$. La razón es simple ; para cada $M > 0$ existe $\delta > 0$ que si $0 < x-a < \delta$, $|f(x)| > M$. Si en este intervalo tenemos $x_1$ $x_2$ tal que $f(x_1) > M > -M > f(x_2)$, luego por el teorema del valor intermedio habría existe $x$$x_1$$x_2$$f(x) = 0$, contradiciendo $f(x) > M$ porque desde $x$ entre $x_1$$x_2$, sino que también satisface $0 < x-a < \delta$.

En una manera similar se puede demostrar que si $\lim_{x \to a^-} |f(x)| \to \infty$, $f(x) \to \infty$ o $f(x) \to -\infty$.

Ahora, cuando $x \to a$, luego "al $x$ proviene de la parte izquierda" sólo tienes una posibilidad, $+$ o $-$ infinito, y lo mismo ocurre si $x$ "viene por el lado derecho". Por lo tanto, el ejemplo $f(x) = \frac 1x$ pueden surgir.

Sin embargo, esto es debido a que la línea real menos el punto de $a$ no está conectado a un dominio. En otras palabras, la pregunta se convierte en verdadero si $f : \Bbb R^n \to \Bbb R$$n > 1$. Ahora, ¿por qué?

Si $f$ es continua y $\lim_{x \to a} |f(x)| = \infty$, entonces para todos los $M > 0$ existe $\delta > 0$ tal que $0 < |x-a| < \delta$ $\Bbb R^n$ implica $|f(x)| > M$. Desde la apertura perforado balón $0 < |x-a| < \delta$ está conectado por arcos, supongamos $f(x_1) > M > -M > f(x_2)$. Entonces existe un arco completamente contenida en el perforado de la bola, y desde $f$ es continua, puede utilizar el teorema del valor intermedio para derivar una contradicción. Por lo tanto, $f$ no puede cambiar de signo en que se punza la pelota, por lo tanto cualquiera de las $f(x) \to \infty$ o $f(x) \to -\infty$.

Espero que ayude,

Answer 2

Esto es cierto si (y sólo si) el dominio de $f$ está conectado localmente a $a$: en cada barrio de $a$ contiene un barrio en el que se reúne el dominio de $f$ en un conjunto conectado. Si son lo suficientemente pequeños barrios de $a$ cruzaba con el dominio de $f$ son todos desconectado (por ejemplo, si $f$ está definido en un conjunto discreto o si el dominio está incluido en $\Bbb R$ $a$ puede ser abordado desde abajo y desde arriba dentro del dominio de $f$), entonces es obviamente falso, como usted puede elegir los signos de $f$ arbitrariamente en cada componente de dicho barrio. El (añadido) condición de que el todo el dominio de $f$ está conectado es no suficiente: la función de $f$ definido en el círculo unidad en el plano complejo, menos el punto de $-1$ $f(e^{\mathbf i\phi})=\tan\frac\phi2$ (es bien definido desde $\tan$ periodo $\pi$) se ha conectado a un dominio, se ha $\lim_{z\to-1}|f(z)|=\infty$ pero $\lim_{z\to-1}f(z)$ ni $+\infty$ ni $-\infty$.

Asumir local de la conexión del dominio de $f$$a$. Sabías que por cada $N>0$ hay un barrio $U$ $a$ tal que $|f(x)|>N$ todos los $x\in U$, y ahora podemos tomar $U$ a ser conectado. Los subconjuntos $\{x\in U\mid f(x)<-N\}$ $\{x\in U\mid f(x)>N\}$ son distintos, ambos abiertos, y se unen a $U$; ya que el conjunto conectado a $U$ no se puede dividir en dos subconjuntos, uno de ellos debe estar vacío. Si la primera está vacía, a continuación,$\lim_{x\to a}f(x)=+\infty$, y de lo contrario,$\lim_{x\to a}f(x)=-\infty$.