¿Depende la compacidad de la métrica?

Question

En caso afirmativo, ¿cuáles son algunos ejemplos de conjuntos que son compactos con respecto a una métrica pero no con respecto a otra?

Answer 1

Toma el set $[0, 1] \subset \mathbb{R}$ bajo la métrica habitual. Esto es compacto. Consideremos ahora $[0, 1]$ en lugar de ello bajo el métrica discreta : $d(x, y) = 1$ si $x \neq y$ y $0$ de lo contrario.

Esto no es compacto. ¿Puedes ver la cubierta infinita de conjuntos abiertos que no admite una subcubierta finita?

Este truco funciona con cualquier conjunto infinito compacto, y además cualquier conjunto infinito con esta llamada métrica discreta no puede ser compacto. Por otro lado, cualquier conjunto finito con cualquier métrica es compacto.

Answer 2

Si preguntas por métricas arbitrarias, las otras respuestas lo cubren bien.

Pero si se pregunta por dos métricas que definen la misma topología, entonces la respuesta es no, como queda claro por la definición de compacidad de tapa abierta.

P.D. La acotación depende de la métrica, y esto demuestra que, en general, la compacidad no siempre puede ser equivalente a acotado+cerrado.

Answer 3

Toma $[0,1] $ con la métrica habitual, en la que es compacta. Y luego considerarlo con la métrica discreta, en la que $d (x,y)=1$ si $x\ne y$ . En este último, sólo los conjuntos finitos son compactos.

Answer 4

La compacidad es una propiedad topológica, así que si tienes dos métricas que inducen la misma topología entonces, o bien ambos espacios métricos son compactos, o bien ninguno es compacto.

Sin embargo, si tiene dos métricas que son se permite que sean topológicamente no equivalentes entonces seguramente una puede ser compacta y la otra no. Por ejemplo, los espacios $\left] 0,1 \right[$ y $[0,1]$ con sus métricas habituales son compactos y no compactos, respectivamente, pero los conjuntos subyacentes de los espacios tienen cardinalidad $2^{\aleph_0}$ en ambos casos, por lo que podrías identificar los conjuntos subyacentes mediante alguna biyección de tu elección, y decir que este es un ejemplo del tipo que pides en tu pregunta.

De manera más general, dejemos que $A$ sea un conjunto cualquiera.

Si $|A|$ es finito, entonces cualquier topología sobre $A$ hace $A$ compacto. En particular, cualquier métrica sobre $A$ es un espacio métrico compacto. (En realidad, cualquier métrica sobre un conjunto finito induce la topología discreta, pero incluso esta topología sigue siendo lo suficientemente "pequeña" como para ser compacta en este caso).

Si $|A|$ es transfinito, se puede elegir la métrica discreta $d(x,y)=1$ para todos $x\ne y$ . Eso da una métrica que no es compacta. Habrá otras topologías en este conjunto $A$ que dan espacios compactos (por ejemplo la topología trivial $\{ \varnothing, A \}$ o la topología cofinita) pero pueden no provenir de una métrica (estas topologías pueden ser no metrizables). No estoy seguro de para qué cardinalidades transfinitas $|A|$ podemos elegir una métrica que haga el espacio compacto, pero como vimos $|A| = 2^{\aleph_0}$ es una de esas cardinalidades.

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Como mencionó el usuario N. S. en un comentario a una respuesta anterior, el caso $|A|=\aleph_0$ es bastante fácil. Se puede elegir un subconjunto contable, cerrado y acotado de $\mathbb{R}$ como por ejemplo $\{\frac1n \mid n\in\mathbb{N}\} \cup \{ 0 \}$ . Con la métrica heredada de $\mathbb{R}$ , éste es un espacio métrico compacto de cardinalidad $\aleph_0$ .