Definición errónea de un límite

Question

¿Qué significaría esto:

$\exists \delta >0$ Tal que$\forall \epsilon > 0$ y$\forall x$ satisfying$0 < |x-a| < \delta$, entonces$|f(x)-L| < \epsilon$

Estoy bastante confundido por los símbolos también ...

He aquí lo he leído:

Existe un delta mayor de cero que para cualquier epsilon mayor que cero y para cualquier$x$ satisfying$0 < |x − a| < \delta$, tendremos$|f(x) − L| < \epsilon$.

¿Esto demuestra que simplemente existe un intervalo donde$f(x)$ es una función constante?

Answer 1

Definitivamente significaría que$f$ es constante, e igual a$L$, en un barrio de radio$\delta$ sobre$a$. Si escribe$\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0$ en lugar de al revés, entonces es una afirmación más débil: que$\lim\limits_{x\to a}f(x)=L$.

Answer 2

Sí. Específicamente, implica$f(x)=L$ en algún intervalo$(a-\delta,a+\delta)$. Esto se debe a que la sentencia dice que$f(x)$ está arbitrariamente cerca de$L$ para$x$ dentro de este intervalo (ya que podemos elegir$\epsilon>0$ tan pequeño como deseamos) Números reales arbitrariamente cerca significa igualdad.

Answer 3

Realmente no. F (x) sigue siendo la función misma - no se convierte en una función constante.

Lo que dice es que si selecciona un δ apropiado (a menudo lo suficientemente pequeño), puede obtener la distancia a f (x) menor que cualquier ε. Muy a menudo δ se construye sobre ε, se ha restringido a la relación f: = x, la diferencia entre f (x) y L es siempre menor que ε. Ahora L es el límite, es decir, estás lo suficientemente cerca de f (x), pero no estás en el punto de (x, f (x)).