He visto tres definiciones diferentes para el valor esperado de una variable aleatoria. La primera es la de la wikipedia versión: $E[X]=\int_\Omega X\,\mathrm{d}P\,$ (Lebesgue la integral).
La segunda es la de mi primer profesor: $E[X]=-\int_{-\infty}^0 F_x(t) \,\mathrm{d}t+\int_0^\infty (1-F_x(t))\,\mathrm{d}t \hspace{2 mm}$ (con función de distribución).
La tercera definición (usado por mi segundo profesor) es este: $ E[X]=\int_{-\infty}^\infty \alpha\,\mathrm{d}F_x(\alpha)\,$ cuando la integral de la $ \int_{A}^B g(\alpha)\,\mathrm{d}F_x(\alpha)\,$ se define como $$ \int_{A}^B g(\alpha)\, \mathrm{d}F_x(\alpha) \hspace{2 mm} = \lim_{\Delta\alpha\rightarrow 0} \sum_i g(\alpha_i) (F(\alpha_{i+1})-F(\alpha_i)) \qquad \text{(Riemann integral)} . $$
Quién tiene la razón? y son estos tres definiciones equivalentes?
