Explorando$ \sum_{n=0}^\infty \frac{n^p}{n!} = B_pe$, particularmente$p = 2$.

Question

Yo estaba explorando el hecho de que $$ \sum_{n=0}^\infty \frac{n^p}{n!} = B_pe,$$ donde $B_n$ $n$th Campana número.

He encontrado este resultado mediante la exploración de la serie en wolframalpha y mirando la secuencia de números generados. Yo no tengo experiencia con Campana otros números de saber que representan el número de maneras de particiones de un conjunto.

Lo he intentado

Buscando en la base de casos se puede verificar $$\sum_{n=0}^\infty \frac{n}{n!} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n-1)!} = e. $$

Pero luego me doy cuenta de que $n^2$ va a ser difícil.

Específicamente lo que quiero

Estoy haciendo esto por diversión, así que sólo quiero inferir algún tipo de lección de esto. Los recursos que me permitió conocer para mí son igual de buenas!

Aceptado la respuesta tendrá uno de los siguientes:

• Una prueba de que $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n^2}{n!} = 2e$ (esto me interesa mucho)
• Una descripción de por qué esta serie está relacionada con la Campana de los números y el número de particiones de un conjunto
• Un enlace a algunos de los recursos que presenta la Campana de números y/o su conexión a esta serie.

Answer 1

Observe que \begin{align} S & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n^{2}}{n!} \\ & = \frac{0^{2}}{0!} + \frac{1^{2}}{1!} + \frac{2^{2}}{2!} + \frac{3^{2}}{3!} + \cdots \\ & = \frac{1}{0!} + \frac{2}{1!} + \frac{3}{2!} + \frac{4}{3!} + \cdots. \end{align} Entonces \begin{align} S - e & = \left( \frac{1}{0!} + \frac{2}{1!} + \frac{3}{2!} + \frac{4}{3!} + \cdots \right) - \left( \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots \right) \\ & = \frac{1}{1!} + \frac{2}{2!} + \frac{3}{3!} + \cdots \\ & = e. \qquad (\text{As shown in the OP.}) \\ \end{align} Por lo tanto, $ S = e + e = 2 e $.

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De hecho, utilizando el mismo tipo de razonamiento, se puede demostrar que $ \displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n^{3}}{n!} = 5 e $.

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Aquí está la conexión con la Campana de los números.

Para cada una de las $ p \in \mathbb{N}_{0} $, vamos a $ \displaystyle S_{p} \stackrel{\text{df}}{=} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n^{p}}{n!} $. Observe que \begin{align} \forall p \in \mathbb{N}: \quad S_{p} & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n^{p}}{n!} \\ & = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{p}}{n!} \qquad \left( \text{As %#%#%.} \right) \\ & = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{p - 1}}{(n - 1)!} \qquad (\text{After canceling %#%#%'s.}) \\ & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(n + 1)^{p - 1}}{n!}. \qquad (\text{After re-indexing.}) \end{align} Por lo tanto, \begin{align} \forall p \in \mathbb{N}_{\geq 2}: \quad S_{p} - S_{p - 1} & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(n + 1)^{p - 1}}{n!} - \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n^{p - 1}}{n!} \\ & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} \left[ (n + 1)^{p - 1} - n^{p - 1} \right] \\ & = \sum_{n = 0}^{\infty} \left[ \frac{1}{n!} \sum_{k = 0}^{p - 2} \binom{p - 1}{k} n^{k} \right] \qquad (\text{By the Binomial Theorem.}) \\ & = \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{p - 2} \binom{p - 1}{k} \frac{n^{k}}{n!} \\ & = \sum_{k = 0}^{p - 2} \left[ \binom{p - 1}{k} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n^{k}}{n!} \right] \\ & = \sum_{k = 0}^{p - 2} \binom{p - 1}{k} S_{k}. \end{align} Por lo tanto, $$ \forall p \in \mathbb{N}_{\geq 2}: \quad S_{p} = \sum_{k = 0}^{p - 2} \binom{p - 1}{k} S_{k} + S_{p - 1} = \sum_{k = 0}^{p - 1} \binom{p - 1}{k} S_{k}. $$ Como $ \dfrac{0^{p}}{0!} = 0 $ por inspección, vemos que el $ n $'s son la Campana números multiplicados por $ S_{0} = S_{1} = e $.

Answer 2

Recordar las especies de las particiones del conjunto con los componentes marcados que es $$\mathfrak{P}(\mathcal{U}\mathfrak{P}_{\ge 1}(\mathcal{Z}))$$ que da a la generación de la función $$G(z, u) = \exp(u(\exp(z)-1)).$$

De ello se desprende que la exponencial de la generación de la función de la Campana de los números es dada por $$G(z) = \exp(\exp(z)-1).$$

Supongamos que estamos tratando de calcular $$\sum_{n\ge 0} \frac{n^p}{n!}.$$

Poner $$n^p = \frac{p!}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{1}{z^{p+1}} \exp(nz) \; dz.$$

Observar que esto le da a $n^p = 0$ al$n=0$, excepto cuando se $p=0$.

Llegamos por la suma $$\frac{p!}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{1}{z^{p+1}} \sum_{n\ge 0} \frac{\exp(nz)}{n!} \; dz = \frac{p!}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{1}{z^{p+1}} \exp(\exp(z)) \; dz \\ = \exp(1) \times \frac{p!}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{1}{z^{p+1}} \exp(\exp(z)-1) \; dz \\ = \exp(1)\times B_p$$ como se reivindica.